完整版高考数学专题《数列》超经典Word格式.docx
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前n项和与通项a。
的关系:
前n项和公式：
sn
n（a〔an）
2
n（n1）d
前n项和公式的一般式:
应用：
若已知
fn2n2
an与Sn
的关系：
例：
Sn2n1,
⑶常用性质:
①若m+n=p+q,贝U有am
m、p成等差数列;
SnAn2Bn,其中A-,B2
d21
n（a1—d）n.
22
a1-d
即可判断fn为某个等差数列an的前n项和，并可求出首项及公差的值。
Sni（n2）（注：
an1
（直接利用通项公式作差求解）
apaq；
特别地：
右am是an,ap的等差中项，则有2am
anapn、
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”
（如aia2a3,a4
a5a6,a?
a8a9,
）仍是等差
数列；
③an为公差为d等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2m
Sm,S3m
也成等差数列，
A、
构成的新数列公差为D=m2d,即m2d=（S2m-Sm）-Sm;
B、对于任意已知Sm,Sn,等差数列an公差
SnSmdnm2nm
d
也构成一个公差为d等差数列。
为♦在等差数丸g」中工
（]）口“=E*am=ntmw%良M用*睥=0；
②若又二5m=n,mw*=—（m+n）i
3.若gj与由.｝均为等差数列，且前设项却分别为k与亶，则M
4.项/为之口⑴6N）得散的等差数列（外。
符,
邑川-M七*口士G=一=h（＜1tt+fln+i）（a„*口"
工为中间的两项）;
.
Hn-n
项数为奇数2蔺—1⑴fN1的等差数列伍,］有:
=（'
〃I）/1口”为中互项J；
5时一5曲=刖等=言
5折,5侵分税为数列中所有奇数项的和与年有偎数里的和.
⑥若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd；
⑦若项数为奇数，设共有2n1项,
则①S奇S偶an
②且亘；
S禺an1
…&
-
S禺n
已知等差数列an,其中S10
10QS100
解析:
法一，用等差数列求和公式
na1
10,则S1
n（n1）
10
求出
a,d
法二,
S10,S20S10,S30S20...S110S100成等差数列，设公差为
D,则:
S110
法三,
S100
若0
10S10
45D
=w,（n>
wr）p则S==一仍+叫二4I。
=-1
63.等比数列的通项公式:
⑴①一般形式:
n1
anaiq
qn（nN
②推广形式：
am
anam
ai（1qn）
③其前n项的和公式为:
1qna1，q
q
na1，q
⑵数列an
为等比数列J
anan
1an
2,nN
a〔q
ap
0,n
N*
An
q
⑶常用性质:
①若m+n=p+q,则有amanapaq；
若am是an,ap的等比中项，则有am2anaPn、
m、p成等比数列；
②等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,）仍是等
比数列；
③an为等比数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3mS2m,S4m&
m..也成等比数列（仅当当
q1或者q1且m不是偶数时候成立）；
设等比数列｛bn｝的前n项积为Tn,则Tk,TZT上，Tk成等比数列.
•••TkT2kT3k
4an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
5an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
an1and（常数）（nN）4是等差数列
②中项法：
2an1anan2（nN）an是等差数列
③一般通项公式法：
anknb（k,b为常数）an是等差数列
④一般前n项和公式法：
SnAn2Bn（A,B为常数）烝是等差数列
（1）定乂法：
q（常数）an为等比数列；
⑵中项法：
an1anan2（an0）an为等比数列；
（3）通项公式法：
ankqn（k,q为常数）an为等比数列；
（4）前n项和法：
Snk（1qn）（k,q为常数）an为等比数列。
Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。
数列最值的求解
（1）&
0,d0时，Sn有最大值；
a10,d0时，Sn有最小值；
（2）Sn最值的求法：
①若已知Sn,Sn的最值可求二次函数
Snanbn的最值;
可用二次函数最值的求法（nN）；
②或者求出
an中的正、负分界项，即:
则Sn最值时n的值（nN）可如下确定
例1:
中，40,
S9
Sl2,则前
a1
0,S9
SI2
S12
a12ana100
项的和最大。
a11
2a11
a12a10
a12
例2.
设等差数列
①求出公差
②指出
同理:
故an
变式:
a10
的前n项和为
d的范围,
前11（或前10项）项和最大
Sn,已知
a312,S120,S130
S2,，S12中哪一个值最大,
a32d122d,S12
S3
12,
并说明理由。
122122d11d
15652d,根据已知
S2JS13
6,an0n
若等差数列的首项为为
a16
S120,S3
0,
24
—d3
7
14442d
0,可知，n=12是前
7,所以，S6最大
31,从第16项开始小于
1，但要注意此时还要一个隐含条件
a15
n项和正负分界项,
则此数列公差d的取值范围是
1,联立不等式组求解。
3、若数列的前n项和Snn210n,则
nsn数值最小项是第
项。
【解析】：
法一（导数法）：
根据等差数列前n项和的标准形式
An2Bn,可知该数列为等差数列,
an2n11
10n9,a2S2
2,,
nSn2n11n
7,da2a12,
f（n）nSn
-2-
2n11n,f（n）
4n
11一，
11,当f（n）0时，即n一时,取得最小值,
4
11
其中211
3,分别求出f
（2）
14,f（3）15,可见当n=3时nsn取得最小。
法二（列举法）：
对于a10且数值较小，d0且数值较大时，可用列举法，分别求出n=1、2…时的nsn
的值，再进行比较发现。
....一.an
4、已知数列an,ai33,anian2n,则一的最小值为
析】：
法一（均值不
）：
由累加法：
ana1n-nan
n2-n33,令
f（n）
f（5）
33,
5
n丝1,可见当nn
f（6）63,可见n6
即n...33时，免取得最小值，5.33n
6时取得最小值。
实在没招时使用该法。
5、已知等差数列
的前n项和Sn,S10
0,S1525,则nSn的最小值为
6,
m
n310n2
3
3,s0
0ai
aio0a13
，令f（n）n
Sn,f（n）
n2"
n,当f’（n）0,即n即时取得最小值,33
620
7,而f（6）-48,f⑺
-49,故取-49
已知等比数列｛『J的首项为公比为-/其前■项和
等比数列；
/］中，
为工，
」一名S对川eN*恒成立.Mji-J的最小昆
JtV
，递减数列,
r-i
it
则数列是［名-工］递增数列，故
Isj
即一^工用—」-工。
"
72"
工
11re-i
0¥
TTL3T
山题意可加；
^^*--£
&
时印七、.恒：
由立.
则H^,B>
3
7212
所以3一W之—即/一.4的最小色为婴口
127272
72
数列通项公式的求法:
类型1:
等差数列型anianf（n）
思路：
把原递推式转化为anianf（n）,再使用累加法（逐差相加法）求解。
例，已知数列｛an｝满足an1an2n1,a11,求数列｛an｝的通项公式。
解：
由an1an2n1得an1an2n1则
anan12（n1）1
an1an22（n2）1?
a2a12*11
以上逐次累加，ann2
所以数列｛an｝的通项公式为ann2
变式：
已知数列｛an｝满足an12an32n,a12,求数列｛an｝的通项公式。
an12an32n两边除以2n1,得：
1—n,则n11—n—,此时f（n）—,故数列｛—nJ
2nl2n22n12n222n:
是以±
21为首项，以刍为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得之1（n1）另，所以数列｛an｝
21222n2
一31c
的通项公式为an（3n）2n
评注：
本题an1、an前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式an12an32n
转化为帮牛3,说明数列｛、是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出21（n1）3,
2n2n22n2n2
进而求出数列｛an｝的通项公式。
类型2：
等比数列型an1f（n）an
把原递推式转化为」」f（n）,再使用累乘法（逐商相乘法）求解。
an
例（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列｛an｝满足
a11,ana12a23a3L（n1）an1（n2）,求｛an｝的通项公式。
因为ana12a23a3L（n1）an1（n2）①
所以an1a12a23a3L（n1）an1nan②
a„
n1（n2）
用②式一①式信
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