全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案1Word文档下载推荐.docx
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的值等于（）
4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）
6
7
8
9
5．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数
在x=1时取最小值
，则△ABC是（ ）
等腰三角形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈
（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；
堆栈
（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）
5种
6种
10种
12种
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
7．（5分）设方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为 _________ ．
8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为 _________ ．
8．（5分）（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则
的值为 _________ ．
9．（5分）已知a2﹣a﹣1=0，且
，则x= _________ ．
10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 _________ 件．
11．（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°
，∠A=60°
，CD=4m，
，则电线杆AB的长为 _________ 米．
12．（5分）若实数x，y，使得
这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对（x,y）为 _________ ．
三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分）
13．（20分）已知：
（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．
求证：
a=b=c
14．（20分）（2010•钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为 _________ ；
用含t的式子表示点P的坐标为 _________ ；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；
并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：
当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的
？
若存在，求出点T的坐标；
若不存在，请说明理由．
15．（20分）对于给定的抛物线y=x2+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
（1）证明：
抛物线y=x2+px+q通过定点；
（2）证明：
下列两个二次方程，x2+ax+b=0与x2+px+q=0中至少有一个方程有实数解．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分160分，每小题20分）
考点：
概率公式；
三角形三边关系；
等腰三角形的判定．732662
分析：
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：
解：
从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，有4种情况，由于三角形中两边之和应大于第三边，所以能构成等腰三角形的情况有2种，故能构成等腰三角形的概率=
=
．
故选C．
点评：
此题考查概率的求法：
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=
；
用到的知识点为：
等腰三角形有2条边长相等；
构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边．
三角形中位线定理．732662
延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°
，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE=AB=6，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×
1.5=3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，
故选D．
本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
3.（5分）已知xy≠1,且有5x2+2011x+9=0,9y2+2011y+5=0，则
选B
扇形面积的计算；
三角形的面积；
勾股定理．732662
专题：
计算题．
如图，AC=4，S1+S2=10，设BC=a，利用圆的面积公式得到S1+S2+S3+S4=
π×
22+
a2=2π+
a2，于是有S3+S4=2π+
a2﹣10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S3+S4，即S3+S4=
﹣
×
4a=
a2+2π﹣2a②，有①﹣②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到两个弓形（带点的阴影图形）面积之和．
如图，
AC=4，S1+S2=10，设BC=a，
∴S1+S2+S3+S4=
a2，
∴S3+S4=2π+
a2﹣10①，
又∵AB2=42+a2=16+a2，
∴S3+S4=
a2+2π﹣2a②，
①﹣②得，2π+
a2﹣10=
a2+2π﹣2a，解得a=5，
a2﹣10=2π+
25﹣10≈6.1，
即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．
故选A．
本题考查了圆的面积公式：
S=πR2．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决．
二次函数的最值；
勾股定理的逆定理．732662
根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案；
由题意可得
即
所以
，因此a2+c2=b2，
所以△ABC是直角三角形，
本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值．
加法原理与乘法原理．732662
此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中，不论怎样排列，a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，这样排列开头的字母只能是a或c，由此解答问题即可．
先取出堆栈
（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况，
abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；
先取出堆栈
（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况，
cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，cadbe，cadeb六种情况；
综上所知，共10种取法．
解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，从而运用一一列举的方法解答即可．
2．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
解一元二次方程-因式分解法；
绝对值；
解一元二次方程-公式法．732662
因式分解．
因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，
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