版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用23函数的奇偶性与周期性学案理Word下载.docx

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奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

3．对称性的三个常用结论

（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，即f（a－x）＝f（a＋x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

（2）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

（3）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，即f（－x＋b）＋f（x＋b）＝0，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称．

4．函数的周期性

定义：

一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的实数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，称T为这个函数的周期．对于周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．

5．函数周期的常见结论

设函数y＝f（x），x∈R，a>

0.

（1）若f（x＋a）＝f（x－a），则函数的周期为2a；

（2）若f（x＋a）＝－f（x），则函数的周期为2a；

（3）若f（x＋a）＝，则函数的周期为2a；

（4）若f（x＋a）＝－，则函数的周期为2a；

（5）若函数f（x）关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f（x）的周期为2|b－a|；

（6）若函数f（x）关于点（a,0）对称，又关于点（b,0）对称，则函数f（x）的周期是2|b－a|；

（7）若函数f（x）关于直线x＝a对称，又关于点（b,0）对称，则函数f（x）的周期是4|b－a|；

（8）若函数f（x）是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；

（9）若函数f（x）是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.

6．掌握一些重要类型的奇偶函数

（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数f（x）＝ax－a－x为奇函数；

（2）函数f（x）＝＝（a>

0且a≠1）为奇函数；

（3）函数f（x）＝loga为奇函数；

（4）函数f（x）＝loga（x＋）为奇函数．

[诊断自测]

1．概念思辨

（1）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．（　　）

（2）已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，若在（－∞，0）上是减函数，则在（0，＋∞）上是增函数．（　　）

（3）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．（　　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b,0）中心对称．（　　）

答案　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）√

2．教材衍化

（1）（必修A1P39A组T6）已知函数f（x）是奇函数，且当x>

0时，f（x）＝x2＋，则f（－1）＝（　　）

A．－2B．0C．1D．2

答案　A

解析　f（－1）＝－f

（1）＝－＝－2.故选A.

（2）（必修A1P39B组T3）设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则xf（x）<

0的解集为（　　）

A．（－1,0）∪（2，＋∞）B．（－∞，－2）∪（0,2）

C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－2,0）∪（0,2）

答案　C

解析　∵f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内单调递减，

∴f（x）在（0，＋∞）内也单调递减．

又∵f（－2）＝0，∴f

（2）＝0，

函数f（x）的大致图象如右图，

∴xf（x）<

0的解集为（－∞，－2）∪（2，＋∞）．故选C.

3．小题热身

（1）（2015·

全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.

答案　1

解析　由已知得f（－x）＝f（x），即－xln（－x）＝xln（x＋），则ln（x＋）＋ln（－x）＝0，

∴ln[（）2－x2]＝0，得lna＝0，

∴a＝1.

（2）（2018·

山西四校联考）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f，且f

（2）＝3，则f（2018）＝________.

答案　3

解析　∵f（x）＝－f，

∴f（x＋3）＝f＝－f＝f（x）．

∴f（x）是以3为周期的周期函数，

则f（2018）＝f（672×

3＋2）＝f

（2）＝3.

题型1　函数奇偶性的判断　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝（1－x）；

（2）f（x）＝

（3）f（x）＝.

用定义法、性质法．

解　

（1）当且仅当≥0时函数有意义，所以－1≤x<

1，由于定义域关于原点不对称，所以函数f（x）是非奇非偶函数．

（2）函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

当x>

0时，－x<

0，f（－x）＝x2－2x－1＝－f（x），

当x<

0时，－x>

0，f（－x）＝－x2－2x＋1＝－f（x）．

所以f（－x）＝－f（x），即函数f（x）是奇函数．

（3）解法一：

因为⇒－2≤x≤2且x≠0，所以函数的定义域关于原点对称．

所以f（x）＝＝，

又f（－x）＝＝－，

解法二：

求得函数f（x）的定义域为[－2,0）∪（0,2]．

化简函数f（x），可得f（x）＝，

由y1＝x是奇函数，y2＝是偶函数，

可得f（x）＝为奇函数．

方法技巧

判断函数奇偶性的方法

1．定义法：

利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：

＝±

1（f（x）≠0）判断函数的奇偶性．

2．图象法：

利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．

3．验证法：

即判断f（x）±

f（－x）是否为0.

4．性质法：

设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：

冲关针对训练　

1．（2018·

广东模拟）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A．y＝B．y＝x＋

C．y＝2x＋D．y＝x＋ex

答案　D

解析　易知y＝与y＝2x＋是偶函数，y＝x＋是奇函数．故选D.

2．判断下列各函数的奇偶性：

（1）f（x）＝；

解　

（1）由得函数的定义域为（－1,0）∪（0,1），

所以f（x）＝＝－.

因为f（－x）＝－＝－＝f（x），所以f（x）为偶函数．

（2）当x<

0，则

f（－x）＝－（－x）2－x＝－（x2＋x）＝－f（x）；

0，则f（－x）＝（－x）2－x＝－（－x2＋x）＝－f（x）．

又f（0）＝0，故对任意的x∈（－∞，＋∞），都有f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数.

题型2　函数奇偶性的应用

角度1　已知函数奇偶性求值

　　（2018·

湖南质检）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

本题用转化法，将f（x）－g（x）转化为f（x）＋g（x）．

解析　∵f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，∴f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），∴f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝1.故选C.

角度2　已知函数奇偶性求解析式

　　设函数y＝f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f＝f，当x∈[2,3]时，f（x）＝x，则当x∈[－2,0]时，f（x）＝（　　）

A．|x＋4|B．|2－x|

C．2＋|x＋1|D．3－|x＋1|

利用函数的周期性结合奇偶性转化求解．

解析　∀x∈R，满足f＝f，∴f（x＋2）＝f（x），故y＝f（x）（x∈R）是周期为2的函数．①当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]，∴f（x）＝f（x＋4）＝x＋4；

②当x∈（－1,0]时，－x∈[0,1），－x＋2∈[2,3），又函数y＝f（x）（x∈R）为偶函数，∴f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝－x＋2，综合①②可知，f（x）＝3－|x＋1|.故选D.

角度3　已知函数奇偶性求参数

　　（2017·

安徽蚌埠二模）函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝________.

根据f（x）＋f（－x）＝0，利用待定系数法求解，本题还可用赋值法．

答案　－2

解析　解法一：

函数的定义域为{x|x≠0}，f（x）＝＝x＋＋a＋2.

因函数f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），

即－x－＋a＋2＝－＝－x－－（a＋2），

则a＋2＝－（a＋2），即a＋2＝0，则a＝－2.

由题意知f

（1）＝－f（－1），即3（a＋1）＝a－1，得a＝－2，将a＝－2代入f（x）的解析式，得f（x）＝，经检验，对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），都满足f（－x）＝－f（x），故a＝－2.

角度4　函数性质的综合应用

合肥三模）定义在R上的函数y＝f（x）在（－∞，a）上是增函数，且函数y＝f（x＋a）是偶函数，当x1<

a，x2>

a，且|x1－a|<

|x2－a|时，有（　　）

A．f（x1）>

f（x2）B．f（x1）≥f（x2）

C．f（x1）<

f（x2）D．f（x1）≤f（x2）

本题用平移法，利用图象的对称性，结合函数的单调性进行判断．

解析　因为函数y＝f（x＋a）是偶函数，其图象关于y轴对称，把这个函数图象平移|a|个单位（a<

0左移，a>

0右移）可得函数y＝f（x）的图象，因此函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，此时函数y＝f（x）在（a，＋∞）上是减函数．由于x1<

a且|x1－a|<

|x2－a|，说明x1与对称轴的距离比x2与对称轴的距离小，故f（x1）>

f（x2）．故选A.

1．利用函数奇偶性转移函数值的策略

将待求的函数值利用f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）转化为已知区间上的函数值求解．见角度1典例．

2．利用函数奇偶性求解析式的策略

将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组），从而得到f（x）的解析式．见角度2典例．

3．利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略

利用待定系数法求解，根据f（x）±

f（－x）＝0得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程（组）并求解．见角度3典例．

4．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

（1）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶