数值计算方法试题一Word文件下载.docx
《数值计算方法试题一Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值计算方法试题一Word文件下载.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
送(x:
+xi+3)lk(x)=
),当n_2时k=0()。
和节点xk-k/2,-0,1,2,,则f[x0,x1,,xn]~
7、
1
ox4(x)dx
8、给定方程组
9、解初值问题
10、设
,5个节点的求积公式最高代数精度为。
1的正交多项式族,其中:
0(x^1,则
%-ax2=b1厂弘*2“2,a为实数,当a满足—
y[^=yn+hf(Xn,yn)
h[0]
yn1—yn~[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]
L2是
,且0—•:
:
2时,SOR迭代法收敛。
y二f(x,y)
.y(x0)=y。
的改进欧拉法阶方法。
_1
[0]
al
)时,必有分解式A=LLt,其中L为下三角阵,当其对角线
元素hi(i=1,2,3)满足(
二、选择题(每题2分)
)条件时,这种分解是唯一的。
1、解方程组Ax二b的简单迭代格式
(1)P(A)<
1,
(2)P(B)<
2、在牛顿-柯特斯求积公式:
保证,所以实际应用中,当(
x(k1)=Bx(k)■g收敛的充要条件是(
(3)P(A)=1,⑷P(B)>
f(x)dx:
(b-a)'
Ci(n)f(Xi)
i=0中,当系数Ci是负值时,公式的稳定性不能
)时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(3)[-10,(4)n-6,
X
0.5
1.5
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
4.25
(1)n-8,
(2)n一7,
3、有下列数表
所确定的插值多项式的次数是()。
(1)二次;
(2)三次;
(3)四次;
(4)五次
h
yn^=yn+hf(Xn+二,yn
4、若用二阶中点公式2
保证该公式绝对稳定,步长h的取值范围为(
⑴0:
h_2,⑵0_h_2,⑶0:
h:
2,
4f(Xn,yn))求解初值问题y=_2y,y(0)=1,试问为
⑷0_h:
2
三、
19
25
30
38
19.0
32.3
49.0
73.3
小时,
1、(8分)用最小二乘法求形如y二a•bx2的经验公式拟合以下数据:
15分)用n=8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算试用余项估计其误差。
(2)用n=8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算岀该积分的近似值。
3(15分)方程X-X-1=0在X=1.5附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(
2、
(1)
四、1、
「1
3
Xn;
(3)X=X-1对应迭代格式
x_3厂刁x="
丄二
应迭代格式Xn1-XnI;
(2)X对应迭代格式
Xn1-1。
判断迭代格式在X0=1.5的收敛性,选一种收敛格式计算X二1.5附近的根,精确到小数点后
第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。
AX=f,其中
4
■24]
A=
f=
,-
-24
列岀
Jacobi迭代法和
Gauss-Seidel
迭代法的分量形式
(2)
求出
Jacobi迭代矩阵的谱半径,写岀
SOR迭代法。
2、(8分)已知方程组
i1I
(15分)取步长h=0.1,求解初值问题.y(0)=1格一库塔法求y(0.1)的值。
五、i、
用改进的欧拉法求y(°
・1)的值;
用经典的四阶龙
4次的多项式P(X)使它满足
f(Xi),p(XoHf(xo),P(Xi)二
4分)
2、(8分)求一次数不高于
P(X°
)=f(X。
),p(xj=
(下列2题任选一题,数值积分公式形如
(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高;
(
R(x)=0xf(x)dx-S(x),并估计误差。
用二步法
厂(Xi)p(X2)=f(x2)
六、
1、
2)设f(X)・C4[0,1],推导余项公式
y'
=f(x,y)
%
求解常微分方程的初值问题差主项,此时该方法是几阶的。
•y(X0)=y。
时,如何选择参数a0^1,日使方法阶数尽可能高,并求局部截断误
数值计算方法试题二
、判断题:
(共16分,每小题2分)
1、若A是nn阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使A=LU唯一成立。
()
2、当n亠8时,Newton—cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
bn
f(x)dx八Af(xi)
i=1的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为
■2
4、矩阵
的2—范数A2=9o
a丿,则对任意实数a式0,方程组Ax=b都是病态的。
(用
QRnn,且有qTq=I(单位阵),则有IIAQA2
)
6、设A•Rnn
7、区间a,b1上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的,且唯一。
8、对矩阵
广2
3^
5
0¥
3、
7
=
0|
b
<
-2*
5」
厂*
a
1丿
6」
A作如下的Doolittle
分解:
,则
20分,每小题
2分)
a,b的值分别为a=2,b=2。
二、填空题:
(共
1、设f(x)=9x83X4*21x210,则均差
f[20,21,28]=f[30,31,39]
2、设函数f(x)于区间a,b】上有足够阶连续导数,
f(xk)
xk1二xk-m
f(xk)的收敛阶至少是
o
p•a,b1为f(x)的一个m重零点,
Newton
迭代公式
阶。
3、区间a,b】上的三次样条插值函数
S(x)在a,b】上具有直到
阶的连续导数。
_TA=
4、向量X=(1,-2),矩阵
AX1
-3
,cond(A)oo
1丿,则
5、为使两点的数值求积公式:
X2=
x1=
6、设ARnn
■1
7、设-4
三、简答题:
(9分)
at
01
=A,则"
(A)(谱半径)
A2。
(此处填小于、大于、等于)
四、(10分)已知数值积分公式为:
hh2'
'
f(x)dx[f(0)f(h)]巾[f(0)一f(h)]
02,试确定积分公式中的参数■,使其代数精确度尽量
高,并指岀其代数精确度的次数。
五、(8分)已知求a(a■0)的迭代公式为:
证明:
对一切k=1,2,…,Xk_a,且序列%•'
是单调递减的,从而迭代过程收敛。
ff(x)dx%?
[f
(1)+f
(2)]
-02是否为插值型求积公式?
为什么?
其代数精度是多少?
九、(9分)设;
;
n(xb?
是区间[a,b]上关于权函数w(x)的直交多项式序列,Xi(i72,…,n,nT)为
「n1(X)f的零点,
li(x)(i~1,2,1n,n1)是以N』为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,
bn1
af(x)w(x)dx八Akf(Xk)akT为高斯型求积公式,证明:
n1
Ad(Xi)「j(Xi)=0
当0兰k,j兰n,k式j时,—
lk(x)lj(x)w(x)dx=0(k=j)
(3)
十、(选做题8分)
Xj(i=0,1,,n)互异,求f[x0>
x1,,xp]的值,其中
若f(X)二j1(X)=(X-X°
)(X-人)(X-Xn),
p弐n1
数值计算方法试题三
一、(24分)填空题
(1)(2分)改变函数f(x)二、x・1「x(x1)的形式,使计算结果较精确
(2分)若用二分法求方程fx=0在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。
•2丄2\
x+x2
x1x2
(6分)写出求方程4x=cosx1在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式,并证明其收敛性。
(12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算-115的近似值,并利用余项估计误差。
1沁dx
‘x的近似值,要求误差限为
(10分)求fx二ex在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
I="
(10分)用复化Simpson公式计算积分0
0.510*
O
(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
+4x2+2x3
=24
3捲+x2+5x3
=34
2x^6x2+x3
=27
f\X1
12
11」
区2丿
分)求方程组
1的最小二乘解
(8)(8分)已知常微分方程的初值问题:
dy/dx=Xy,1兰x"
(9)丿⑴=2
(10)用改进的Euler方法计算y(12)的近似值,取步长h=0.2
(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(1)(6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足:
⑵p1=15,p'
1=20,p'
1=30,p2=57,p'
2=72
(3)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求出其代数精度:
〔101、
(5)(6分)用幕法求矩阵I1b的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至
特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值为1,°
丁。
(6)(6分)推导求解常微分方程初值问题
⑺y'
x二fx,yx,a乞x乞b,ya=y。
(8)的形式为yi1二yihX,i=1,2,…,N
(9)的公式,使其精度尽量高,其中f