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第五章统计假设测验
第一节统计假设测验的基本原理
一、统计假设测验的基本概念
二、统计假设测验的意义
三、统计假设测验的基本方法
第二节单个样本平均数的假设测验
一、总体方差σ2已知,用u测验(例题)
二、σ2未知,但为大样本,也可以用u测验
三、总体方差σ2未知,且为小样本,此时用t测验
复习思考题小结
提问复习
讲解举例
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讲解
举例
公式
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2.4统计假设测验
一、统计假设测验的基本原理
(一)统计假设测验的基本概念
由一个样本或一系列所得的结果去推断总体,即统计推断。
参数估计:
由样本的结果对总体参数作出点估计和区间估计。
统计推断
假设测验
参数估计
点估计:
以统计数估计相应的参数,例如以估计μ;
区间估计:
以一定的概率作保证估计总体参数位于某两个数之间。
但是试验工作更关心的是有关估计值的利用,即利用估计值去作统计假设测验。
此法首先是根据试验目的对试验总体提出两种彼此对立的假设,然后由样本的实际结果,经过计算作出在概率意义上应接受哪种假设的推断。
这就是统计假设测验。
(二)统计假设测验的意义
在科研中得到的数据资料,要深入反复地进行分析,从中找出科学的结论,防止作绝对肯定和绝对否定的简单的结论这是十分重要的。
例题:
某苹果园土壤肥力一致,品种A调查了6株,品种B调查了7株,其单株结果量如下表:
苹果品种单株结果量比较表(kg/株)
品种
单株产量
总和s
A
B
888479879286
84938391889490
516864.34
623894.14
从上表看,=89-86=3kg/株,
问题1:
A、B本身单株产量就很不一致,
2:
A的个别单株也有高于B的,说明A、B二品种是互有高低。
因为受试验误差的影响,就不能作出肯定或绝对否定的简单结论。
要从试验的表面效应中分析,是试验处理(或品种)的效应,还是试验误差的效应,要在这两者中权衡主次,再作出结论。
(三)统计假设测验的基本方法
某地区金红苹果多年种植记录的平均单果重60g(μ0),其标准差为5g(σ0),从中选出一个新品种,经设有16次重复(n=16)的小区试验结果得知其平均单果重=65g,为辨明-μ0=5g这一差异是否反映新品种与原品种的总体平均数间的真实差异,在统计上,作如下步骤的假设测验。
1、提出统计假设
首先对样本所属的未知总体提出某种假设,通常是一对假设:
无效假设(H0也称零值假设)和备择假设(记作HA),两者是对立的。
本例题的H0假设:
所属的未知总体的平均数μ是和已知总体的平均数μ0相等。
即:
H0:
μ-μ0=0(或μ=μ0)-μ0=5g是误差造成的,
HA:
μ-μ00-μ0=5g不是误差造成的。
2、测验统计假设
计算在假设的已知总体中的概率。
本例题中μ0、σ0已知,故可根据u分布去计算在平均数为μ0的总体中出现的概率。
(1)u转换:
u=4
(2)查表
正态离差u值表(两尾)计算概率,方法是根据实得︱u︱值,查其对应的临界概率α值,本例︱u︱=4>2.58,其对应的概率<0.01
3、推断统计假设
根据“小概率事件实际不可能性原理”作出接受H0或否定H0的统计推断。
如前所述,农业上常用α=0.05α=0.01这两个显著水平,作为划分小概率事件的临界概率值,并据此划定了接受H0的区域(接受区)和否定H0,接受HA的区域(否定区),其几何意义见下图:
-1.96-1011.96
否定区接受区域否定区
α=0.05
否定区:
P<0.05即︱u︱>u0.05(1.96)
接受区:
P≥0.05即︱u︱≤u0.05(1.96)
α=0.01
P<0.01即︱u︱>u0.01(2.58)
接受区:
P≥0.01即︱u︱≤u0.01(2.58)
在推断上,只需将实得︱u︱与查表u值表中u值相比较,就可以作出接受或否定H0的结论。
︱u︱≤u0.05(1.96)接受H0,差异不显著;
︱u︱>u0.05(1.96)否定H0,接受HA,差异显著;
︱u︱>u0.01(2.58)否定H0,接受HA,差异极显著。
推断结论:
新品种比原品种单果重重,差异达极显著水平。
假设测验的步骤总结如下:
建立无效假设和备择假设
确定显著水平
计算u值,求得概率
比较计算的u值与规定的u的大小,作出结论。
二、单个样本平均数的假设测验
(一)总体方差σ2已知,用u测验(例题)
(二)σ2未知,但为大样本,也可以用u测验
据历年记载,某园国光苹果的株产平均为μ0=225kg,采取某种新措施后,随机抽样调查100株,得平均株产=234kg,s=55kg,问这一新措施有无增产效果?
解:
n=100,是大样本,故σ2虽未知仍可用s代替,作u测验。
假设:
H0:
μ=μ0=225kg;
HA:
μμ0
计算:
u==3.273
查u值表得u0.01=2.58,
∵实得︱u︱=3.273∴︱u︱>u0.01,P<0.01
推断:
否定H0:
μ=μ0=225kg接受HA:
μμ0差异极显著。
新措施对提高国光苹果株产有效果。
这一推断有99%的把握。
(三)总体方差σ2未知,且为小样本,此时用t测验
从一个平均数为μ,方差为σ2的正态总体中抽样,或者非正态总体中抽样,只要样本N足够大,则得到一系列样本平均数的分布必然服从正态分布,并且有
u=,查u值表,计算概率。
但是在实际工作中,往往碰到σ2未知,又是小样本,这时,以s2估计σ2,转换的标准化离差的分布不呈正态分布,而是作t分布,具有自由度υ=n-1
t=
t分布是1908年W.S.Gosset提出来的,它是具有一个单独的参数υ以确定其特定分布,υ为自由度。
T分布概率的密度函数为:
t分布有以下特点:
①t分布受自由度的制约,每一个自由度都有一条t分布曲线。
②t分布曲线以t=0为中心,左右对称分布。
③t分布曲线中间比较陡峭,顶峰略低,两尾略高,自由度越小,这种趋势越明显。
而自由度越大,t分布趋近于正态分布,当n>30时,t分布与标准正态分布的区别很小,n→∞时,t分布与标准正态分布完全一致。
t分布受自由度的制约,所以,t值与其相应的概率也随着自由度的不同,而不同,它是小样本假设测验的理论基础,为了便于应用已将各种自由度的t分布,按照各种常用的概率水平制成附表4:
t值表。
竹丝茄株高平均μ0=75cm。
引进一品种,随机抽样调查10株,得平均株高=70cm,标准差s=6cm,试测验引进品种的株高与竹丝茄的株高有无显著差异?
n=10,是小样本;
σ2未知,用s估计σ,进行t测验。
μ-μ0=0HA:
μ-μ00
s==1.8974t===-2.635
查附表4,当υ=n-1=10-1=9
t0.05,9=2.262,t0.01,9=3.250
∴∣t∣=2.635>t0.05,9=2.262,即P<0.05
推断否定:
μ-μ0=0接受HA:
μ-μ00,差异显著。
即引进品种的株高比竹丝茄矮,此推断的可靠性为95%。
园艺高专1
2(4)
2.4统计假设测验
(二)
通过学习,学会两个样本平均数的u、t测验
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三、两个样本平均数的假设测验
(一)成组数据平均数的假设测验
1、大样本成组数据的u测验
2、小样本成组数据的t测验
(二)成对数据平均数假设测验
①在两个样本的总体方差已知时可以用u测验。
两样本平均数和的差数标准误,在已知时为
并有u=
例题1:
据以往资料,已知某小麦品种每平方米产量的=0.4(kg)。
今在该品种的一块地上用A、B两种方法取样,A法取12个点,得每平方产量=1.2kg;
B法取样8个点,得=1.4kg。
试比较A、B两法的每平方米产量是否有显著差异?
假设H0:
A、B两法的每平方米产量相同,即:
,-=1.2-1.4=-0.2(kg)系随机误差;
对HA:
。
显著水平=0.05,=1.96
===0.4(kg),n1=12,n2=8
==0.2887(kg)
u==-0.69
因为实得︱u︱<u0.05=1.96,故P>0.05
接受H0:
,即A、B两种取样方法所得的每平方米产量没有显著差异。
②在两个样本的总体方差未知时,但两个样本都是大样本(n1≥30,n2≥30)时可以用u测验
因为是大样本,所以可以用s1估计,s2估计,则有
s=
故而:
u=
由于H0:
所以
u=
如果实得︱u︱>u,否定H0,接受HA。
︱u︱<u时,接受H0。
例题2:
调查甲、乙两苹果品种的新梢生长量,甲品种测定200个新梢(n1=200),得=45、4cm,s1=5.4cm,乙品种测定150个新梢(n2=150)得=47.8cm,s2=6.6cm。
问这两个品种新梢生长量差异是否显著?
HA:
计算s===0.6605
u===-3.63
︱u︱>u0.01=2.58,所以,否定H0,接受HA,即两品种新梢生长量有极显著差异。
在两个样本的总体方差未知时,又都是小样本时,可假设
==,用t测验。
t==
由于假定==,都是的无偏估计值。
所以用两个方差的加权值s来估计。
s==
式中s为合并均方,和分别为两样本的平方和,求s得后,其两样本平均数的差数标准误为:
当n1=n2=n时,则上式变为s=,于是有
例题3:
某辣椒品种在甲乙两地做小区试验。
甲地重复5次(n1=5),乙地重复7次,得产量数据(kg/小区)如下:
甲地(x1):
12.613.411.912.813.6
乙地(x2):
13.113.412.813.513.512.712.4
试测验此辣椒品种的小区平均产量在两地有无差异。
小样本资料,未知,且事先无法判断产量以何地为高,故做两尾t测验。
已知n1=5,n2=7,则=n1-1=5-1=4,=n2-1=7-1=6
s1==0.6768
s2==0.4353
s===0.3191
t===
查