一单项选择题本大题共5小题每小题2分共10分.docx
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一单项选择题本大题共5小题每小题2分共10分
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设，且函数的反函数，则（）
2．（ ）
A．0B．1C．-1D．
3．设且函数在处可导，则必有（）
4．设函数，则在点处（）
A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导
5．设，则（）
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f（x）在区间[0，1]上有定义，则函数f（x+）+f（x-）的定义域是__________.
7．
8．
9.已知某产品产量为g时，总成本是，则生产100件产品时的边际成本
10.函数在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数的单调减少区间是___________.
12.微分方程的通解是___________.
13.设___________.
14.设则dz=_______.
15.设_____________.
三、计算题
（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设，求dy.
17.求极限
18.求不定积分
19.计算定积分I=
20.设方程确定隐函数z=z（x,y），求。
四、计算题
（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？
22.计算定积分
23.将二次积分化为先对x积分的二次积分并计算其值。
五、应用题（本题9分）
24.已知曲线，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积.
六、证明题（本题5分）
25．证明：
当时，
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：
B
2．答案：
A
3．答案：
A
4．答案：
C
5．答案：
D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6．答案：
7．答案：
8．答案：
0
9．答案：
10．答案：
11．答案：
（1，2）
12．答案：
13．答案：
14．答案：
15．答案：
三、计算题
（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.答案：
17．答案：
-1
18．答案：
19.答案：
20.答案：
四、计算题
（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：
22．答案：
23.答案：
1
五、应用题（本题9分）
24.答案：
（1）
（2），
（2）所求面积
所求体积
六、证明题（本题5分）
25．证明：
故当时单调递增，则即
三．解答题（每小题7分共28分）
16计算
解原式=
原式=
17．设，求
解显然
原式=
18．设，具有二阶连续偏导数，求
解令，则
19．求摆线的弧长L
解
四综合题（共18分）
20．修建一个容积等于108的无盖长方体蓄水池，应如何选择水池长、宽、高尺寸，才使它的表面积最小，并求出它的最小表面积。
解设水池长、宽、高分别为,则问题是在条件
下，求函数的最小值，作Lagrange函数
解方程组
得唯一可能极值点，由实际问题知表面积最小值存在，所以在长为6,宽为6，高为3时，表面积最小,最小值为108.
21．21、若在上连续，在内有二阶导数，求证
（1）存在，使
（2）存在，使
证明
（1）设，则在上
满足Lagrage中值定理条件，所以，存在，使
（2）由已知还有，在内可导，再次用Lagrage中值定理
所以，存在，使
结合
（1）有
试题及答案
一、单项选择题
1．设在点处的偏导数存在，则=。
A、0；B、；C、；D、。
2．设曲面与平面的交线在点处的切线与轴正向所成的角为，则。
A、；B、；
C、；D、。
3．是级数发散的。
A、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非充分又非必要。
4．在区域：
上的值为。
A、；B、；C、；D、0。
5．下列函数中，哪个是微分方程的解。
A、；B、；C、；D、。
二、是非判断题（15分）
1．=0，其中为圆周按逆时针转一周（）
2．如果，均存在，则沿任何方向的方向导数均存在（）
3．以为面密度的平面薄片的质量可表为。
（）
4．在上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且上收敛于。
（）
1．微分方程的通解包含了所有的解。
（）
三、计算题（16分）
1．设，其中具有一阶连续偏导数，求，。
2．已知，确定的，求。
四、（10分）求的值，其中为曲面和平面所围成的区域。
五、（12分）验证：
在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。
六、（10分）求，其中为和所围立体边界的外侧。
七、（12分）求微分方程的特解。
八、（10分）求的和函数。
参考答案
一、单项选择题（15分，每题3分）
1、D；2、C；3、A；4、D；5、B。
二、是非判断题（15分，每题3分）
1、×；2、×；3∨、；4、∨；5、×。
三、计算题（16分）
1．……4分
……10分
2．……1分
……3分
……5分
……6分
四、（10分）……6分
……10分
五、（12分）
……4分
在右半平面内恒成立，因此在右半平面内是某个函数的全微分……6分
……8分
……12分
六、（10分）……4分
……8分
……10分
七、（12分）
……2分
设此方程的特解为：
代入原方程得
……6分
故此方程的通解为：
……10分
代入初始条件
特解为：
……12分
八、（10分）……2分
从而收敛域为
设
……8分
当时，有
……10分
三、计算题（每小题7分，共49分）
四、问答题（每小题6分，共12分）
五、应用题（本题共9分）
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