高等数学习题和解答极限连续和导数Word文档格式.docx
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所以命题成立
3:
〔1〔2
〔3〔4
4:
用极限定义证明:
<
不作要求>
因为有成立,只要取N=[],则当n>
N时,就有有定义变知成立
5:
求下列数列的极限
〔3
〔4
〔1,又,所以,故:
=0
〔2由于
又因为:
所以:
〔3因为:
所以:
〔4因为:
并且,故由夹逼原理得
6:
由于
7:
8:
9:
习题三无穷小与无穷大、极限运算法则及两个重要极限
基本理论层次
同理:
〔3,〔4
习题四无穷小的比较、函数的连续及性质
〔1〔2
第二章一元微分学及应用
习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数
.
习题二导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分
略
习题三中值定理罗必达法则泰勒公式
1.
2.
3.
4
5.]
6.
7.
习题四导数的应用
1.
综合练习题
一、填空题
1、设在可导,则。
2、设,则。
3、设,则。
4、已知,则。
5、已知,则当经=1、=1时,。
6、,则。
7、如果是的切线,则。
8、若为奇函数,且,则。
9、,则。
10、,则。
11、设,则。
12、设,则。
13、设,则。
14、设函数由方程所确定,则曲线在点〔1,1处的切线方程是。
15、,其导数在处连续,则的取值范围是。
16、知曲线与轴相切 ,则可以通过表示为。
二、选择题。
17、设可导,,则是在处可导的〔 。
充分了必要条件, B 充分但非必要条件,
C 必要条件但非充分条件, D 既非充分条件又非必要条件。
18、函数在处 〔
A 左右导数均存在, B 左导数存在,右导数不存在,
C 左导数不存在,右导数存在, D 左右导数均不存在。
19、设周期函数在内可导,周期为4,又,则曲线
在点处的切线斜率为 〔
A , B 0 , C –10, D –2 。
20、设函数则实常数当在处可导时必满足〔
A ;
B ;
C ;
D
21、已知 ,且存在,则常数的值为 〔
A B C D
22、函数在上处处可导,且有,此外,对任何的实数恒有
那么〔
A B C ;
D 。
23、已知函数具有任何阶导数,且,则当为大于2的正整数时,
的阶导数是 〔
A ;
B ;
C ;
24、若函数有,则当时,该函数在处的微分是的〔
A 等价无穷小;
B 同阶但不等价的无穷小;
C 低阶无穷小;
D 高阶无穷小。
25、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为,则 〔
B C 2;
D 3 。
26、设由方程组 确定了是的函数,则〔
B ;
D 。
一、填空题的答案
1、22、-1;
3、;
4、5、-1
6、6+2ln27、28、19、n!
10、-
11、112、13、14、15、16、
二、选择题答案:
17、A18、B19、D20、A
21、C22、C23、A24、B
25、D26、B
三、综合题:
27、求曲线上与直线垂直的切线方程。
剖析:
求曲线的切线议程关键有垂点,一是求切点,二是求切线斜线。
解:
设切点为则点处的切线斜度为
依题意知所求切线〔坐垂直,从而利切点为;
切线〔为
故所求切线方程为即:
设则
9、如果为偶函数,且存在证明
因为为偶函数,所以从而
:
故
28、讨函数在处方程连续性与可得
所以函数在处连续
又
故函数在处可导、值
29、已知求
解:
30、已知
从而
31、证明:
双曲线上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于。
设为双曲线上的一点,则该点处切线的斜率为从而切线方程为
令得轴上的截距为
32、设求
33、设在求
设
则:
从而
34、设,讨论处连续性
本题需先求的表达式,再讨论在点处的连续性
当
从而:
35、
〔1
〔2
=
37、设
提示:
。
答案:
38、求导数
解:
39、
解
40、设
剖析:
此类函数直接求导,很难找出规律,先对
41、求下列函数的n阶导数的一般表达式
44、求曲线上对应于点处的法线方程
46、求
由于函数是根式私连乘,所以用对数示导法
47、〔相关变化率问题是设气球以100cm3的速度,浸入气球〔假设气球是球体求在半径为10cm的气球半径增加的速度〔假空气体压力不变
解决相关变化率问题一般分三步:
第一步:
是建立气球体积v和半径r之间的关系。
第二步:
根据等式找出
第三步:
由己知的变化率求出未知的变化率
=
由=10cm
即当=10cm时
半径以的速率增加。
48、已知求
49、设是由方程确定的隐函数,求
利用公式
将方程两边分别对求导,有
得=
从而=
50、设y=<
1+3-x>
.求
=-
51、求下列函数的微分
1>
、=<
=<
-->
〔2函数变形为两边取对数有两边对求微分得
53、扩音器插头为圆柱形,截面半径为0.15cm,长度l为4m,为了提高它的导电性能,要在这个圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的钱铜,问每个插头约要多少克纯铜。
ΔΔ
=2π×
0.15×
4×
0.0
故镀的铜的重量为0.0037699×
8.9
54、有一立方形的铁箱,它的边长为70±
0.1cm,求出它的体积,并估计绝对误差和相对误差。
体积:
V=703=343000cm3
绝对误差=
相对误差
55、求、的值,使在可导。
为使在得可导,必须在连续
即
又因
因此有,从而当时
在处可导
56、证明可导偶函数的导数为奇函数
证:
由题设存在
于是
=-
可导偶函数的导数为奇函数
同理可证:
可导奇函数的导函数为偶函数
以同期为T的可导函数的导函数以T为周期的函数。
57、设求
4、
两边取对数
两边对求导
58、设存在,求
59、设求
60、设求