高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题Word下载.docx
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B
2.到两定点A(0,0),B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是
A.椭圆所在直线
C.线段ABD.无轨迹
数形结合易知动点的轨迹是线段AB:
y=-x,其中Owx<
3.
3
C
3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为
x2
B.—1
C.—3D.以上都不对
的几何意义是椭圆上的点与定点(2,0)连线的斜率•显然直线与椭圆相
切时取得最值,设直线y=k(x—2)代入椭圆方程(4+k2)x2—4k2x+4k2—4=0.
2一令A=0,k=±
-3.
由0<
m+n2<
3,可知|n|<
..3,|m<
3,
(1)写出直线l的截距式方程;
1
(2)证明:
11+=—y1y2b
(3)当a=2p时,求/MO的大小.
剖析:
易知直线I的方程为_+2=1,欲证丄+丄J,即求V一竺的值,为此只需
aby1y2by1y?
求直线I与抛物线y2=2px交点的纵坐标.由根与系数的关系易得yi+y2、屮y的值,进而证得
贝y刚=上,k2=±
X1X2
2
当a=2p时,由
(2)知,y’y2=—2pa=—4p,
2222
由y1=2px1,y2=2px2,相乘得(目旳2=4pxx2,
与=1的两条渐近线为I1、I2,过椭圆C的右焦点F作直线I,使I丄I1,又I与
b2
12交于P点,设I与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B(如下图)
'
PL
A
(1)当11与I2夹角为60°
双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;
(2)由FA=入AP,欲求入的最大值,需求AP的坐标,而P是I与li的交点,故需
又b<
1,
a
a=、3b.
22又a+b=4,
--a=3,b=1.
将A点坐标代入椭圆方程得
(c2+入a2)2+入2a=(1+入)
•••(e+入)+X=e(1+入)
^―2—:
+3w3—22.
2e2
•入的最大值为2—1.
评述:
本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点公式、重要不等式的应用•解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想.本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题.
【例3】设椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=-^,已知点P(0,-)
22
到这个椭圆上的点的最远距离是.7,求这个椭圆方程,并求椭圆上到点P的距离等于.7的
点的坐标.
22.3
设椭圆方程为冷+笃=1,由e=!
^知椭圆方程可化为x2+4y2=4b2,然后将距离
a2b22
转化为y的二次函数,二次函数中含有一个参数b,在判定距离有最大值的过程中,要讨论
y=-丄是否在y的取值范围内,最后求出椭圆方程和
P点坐标.
解法一:
设所求椭圆的直角坐标方程是笃+
爲=1,其中a>
b>
0待定.
r2ca
由e==-
~2
设椭圆上的点
(x,y)到点P的距离为d,
即a=2b.
2c
y、29
=a(1--)+y-3y+_=
b24
=1-(b)2可知b=
aa
4b2—3y2-3y+9=-3(y+丄)2+4b2+3,其中一b<
y<
b.
9
+—
4
如果bv1
此得b=.7—3>
-,
则当
y=-b时d(从而d)有最大值,由题设得(.7)2=(b+-)2,由
与bv-矛盾.
因此必有b>
1成立,于是当y=--时d(从而d)有最大值,由题设得(、.7)2=4b2+3,
由此可得b=1,a=2.
2故所求椭圆的直角坐标方程是—+y2=1.
由y=-丄及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点(一
点P的距离都是■,7.
解法二:
根据题设条件,设椭圆的参数方程是
x=acos0,
y=bsin0,其中a>
0待定,0v2n,
••仝
-e=—
•°
・a=2b.
设椭圆上的点(
223
d2=x2+(y-2
如果丄>
1,即卩2b
X,
y)到点P的距离为d,贝U
3221
0+(bsin0)=-3b•(sin0+—)
b
222
=acos
2+4b2+3.
bV2,
则当sin0=-1时,d(从而d)有最大值,
由题设得(7)2
(b+3)2,由此得b=.7—
->
1,与bv-矛盾.
因此必有丄
2b
w1成立,于是当sin0=—2-时,d(从而⑴有最大值,由题设得(7)
=4b+3.
由此得b=1,a=2.所以椭圆参数方程
消去参数得—+y2=1,由sin0=」
42
x=2cos0,
y=sin0.
cos0=±
—知椭圆上的点(一"
3,——)(y3,
—1)到P点的距离都是.7.
本题体现了解析几何与函数、三角知识的横向联系,解答中要注意讨论深化拓展
根据图形的几何性质,以P为圆心,以.7为半径作圆,圆与椭圆相切时,切点与P的
距离为7,此时的椭圆和切点即为所求•读者不妨一试•
厂2/3、27
x+(y——)=7,
2x2+4y2=4b2,
292
得3y+3y—=4b—乙
由A=0得b2=1,
即椭圆方程为
所求点为(—
x+4y=4.
AA
v'
3,—-)、(,—-)
•闯关训练
夯实基础
1.(2005年北京东城区目标检测)以正方形好过正方形四边的中点,则该椭圆的离心率为
A尿72
ABCD勺相对顶点
AC为焦点的椭圆,恰
cd
B.
D.
、51
、10.2
建立坐标系,设出椭圆方程,
由条件求出椭圆方程,可得
D
3.(2005年启东市第二次调研)设Pi(J2,<
2)、P2(-42,—J2),M是双曲线
y=_上位于第一象限的点,对于命题①|MP-|MP|=2、、2:
②以线段MP为直径的圆与圆
x
x+y2=2相切;
③存在常数b,使得M到直线y=—x+b的距离等于—|Mf?
|.其中所有正确命
题的序号是.
由双曲线定义可知①正确,②画图由题意可知正确,③由距离公式及|MR|可
知正确.
①②③
4.(2004年全国H,15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x2—2y2=1有公共的焦点,且
双曲线中,冷尹,
它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.
F(±
1,0),e=£
=J2.椭圆的焦点为(土1,0),
离心率为-—.•长半轴长为.2,短半轴长为1.
2•方程为—+y2=1.
+y2=1
5.
(1)试讨论方程(1—k)x2+(3—k2)y2=4(k€R)所表示的曲线;
解:
(1)3—k2>
1—k>
0k€(—1,1),方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆;
3—k>
0k€(—,—1),方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆;
1—k=3—
k2>
0k=—1,表示的是一个圆;
(1—k)(3—k2)<
0k€(—^,—,3)U(1,、、3),
表示的是双曲线;
k=1,k=—.3,表示的是两条平行直线;
k=.3,表示的图形不存在
(2)由(k2+k—6)(6k2—k—1)<
0(k+3)(k—2)(3k+1)(2k—1)<
0k€(—3,
11
)U(—,2).
32
6.
tI0A=|OEB,•••xi+yi=X2+y2.
又•••yj=2pxi,y22=2px2,
•X2—xi+2p(X2-Xi)=0,
即(X2—xi)(xi+X2+2p)=0.
又tXi、X2与p同号,•Xi+X2+2pz0.
•X2—Xi=0,即卩Xi=X2.
由抛物线对称性,知点A、B关于x轴对称•
(2)解:
由(i)知/AO)=30°
贝U
广2广
y=2px,x=6p,
”y=^x\y=2j3p.
J3k
•A(6p,2,3p).
方法一:
待定系数法,△AOB外接圆过原点0,且圆心在x轴上,可设其方程为x2+y2+dx=0.
将点A(6p,2,3p)代入,得d=—8p.
故厶AOB7卜接圆方程为x2+y2—8px=0.
方法二:
直接求圆心、半径,设半径为r,则圆心(r,0).
培养能力
7.(理)(2004年北京,i7)如下图,过抛物线y2=2px(p>
0)上一定点P(X0,yo)
(yo>
0),作两条直线分别交抛物线于A(xi,yi)、B(X2,y2).
(i)求该抛物线上纵坐标为—的点到其焦点F的距离;
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求-yi一y2的值,并证明直线AB的斜率
y。
是非零常数.
(i)当y=P时,x=E.
28
又抛物线y2=2px的准线方程为