人教版高中数学必修5第二章数列文档格式.docx

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创设情景

引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列……都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?

都遵循了什么样的规律?

真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是,你看出这几个数字的特点了吗?

前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?

这种规律就是我们将要学习的数列.

引例

1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数

2.某班学生的学号由小到大排成一列数

3.1984年至2008年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数

像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点?

共同特点:

（1）每一项都是一个数;

（2）这些数在排列上按一定顺序来.

二、讲解新课：

1.数列的概念

按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第项,…,排在第位的数称为这个数列的第项.

注:

从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.

2.数列的记法

数列的一般形式可以写成:

可简记为.其中是数列的第项.

3.数列的通项公式

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

（1）一个数列的通项公式有时不唯一.如,

它的通项公式可以是,也可以是.

（2）通项公式的作用:

①求数列中的任意一项;

②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.

4.数列的本质

从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集（或它的子集）的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:

列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列.

5.数列的分类

（1）按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列.项数有限的数列叫做有穷数列;

项数无限的数列叫做无穷数列.

（2）按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.

一个数列从第项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;

一个数列从第项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;

各项相等的数列叫做常数列;

一个数列从第项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.

6.递推公式

已知数列的第一项（或前几项）,且任一项与它前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.

已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.

三、讲解范例：

例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列个数:

（1）;

（2）.

（3）（4）

解:

（1）

（2）

（3）（4）

类型题:

根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.

（5）（6）

（7）（8）

（9）（10）

答案:

点评:

这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题:

①用和来调整符号;

②各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再找规律;

③借助一些特殊的数列:

④有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.

例2根据下面数列的通项公式,写出前项.

（1）

（2）（3）解:

略

例3在数列中,,通项公式是项数的一次函数.

（1）求数列的通项公式,并求;

（2）若,求数列的通项公式.解:

例4已知数列的通项公式为.

（1）试问是否是数列中的项?

（2）求数列的最大项;

（3）若,求.解:

例5已知数列

（1）写出这个数列的一个通项公式;

（2）根据判断数列的增减性和有界性.

（1）

（2）因为所以数列是递增数列又因为所以数列是有界数列.

例6已知数列的首项,且,写出这个数列的前项.解:

例7

（1）已知数列的首项,且,试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式.

（2）在数列中,,（）,试写出这个数列的前项,并归纳出通项公式.解:

例8设数列是以为首项的正数列,且,求数列的通项公式.解:

类型题1:

已知数列满足,,写出前项,并猜想.

类型题2:

类型题3:

例9已知数列的递推公式是,且.求:

（2）是这个数列中的第几项?

例10若记数列的前项和为,试证明.证明:

变式题1:

已知数列的前项和为,求.变式题2:

已知数列的前项和为,求.变式题3:

已知数列的前项和为,求.

例11如图中的三角形成为谢宾斯基（Sierpinski）三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.（P30例2）

例12如图是第七届国际数学教育大会的会徽,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成,其中,

记的长度所在的数列为（）

（1）写出数列的前项;

（2）写出数列的一个递推关系式;

（3）求的通项公式;

（4）如果把图中的三角形继续做下去,那么的长度分别为多少?

课题:

§

2.2等差数列

●教学目标

知识与技能：

了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;

正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法：

经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。

情感态度与价值观：

通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

●教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点等差数列的性质

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些例子。

课本P41页的4个例子：

①0，5，10，15，20，25，…②48，53，58，63③18，15.5，13，10.5，8，5.5④10072，10144，10216，10288，10366

观察：

请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

·

共同特征：

从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；

（误：

每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

Ⅱ.讲授新课

1．等差数列：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{},若－=d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。

思考：

数列①、②、③、④的通项公式存在吗？

如果存在，分别是什么？

2．等差数列的通项公式：

【或】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

即：

即：

……由此归纳等差数列的通项公式可得：

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

由上述关系还可得：

则：

=

即等差数列的第二通项公式∴d=

[范例讲解]

例1⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？

如果是，是第几项？

解：

⑴由n=20，得

⑵由得数列通项公式为：

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例3已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？

若是，首项与公差分别是什么？

分析：

由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

当n≥2时,（取数列中的任意相邻两项与（n≥2））

为常数

∴{}是等差数列，首项，公差为p。

注：

①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q（p、q是常数），称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

Ⅲ.课堂练习

课本P45练习1、2、3、4

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：

－=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：

，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：

和=pn+q（p、q是常数）的理解与应用.

Ⅴ.课后作业

课本P45习题2.2[A组]的第1题

●板书设计

授课类型：

新授课

（第２课时）

明确等差中项的概念；

进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；

通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。

●教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

●教学难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

首先回忆一下上节课所学主要内容：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就