频率抽样设计法Word下载.docx
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（2）当h（n）满足条件时，求和（）
（b）用表示h（n）的N点DFT
（1）若h（n）满足，证明H（0）=0；
（2）若N为偶数，证明当时，H（N/2）=0。
解：
（a）
（1），当N为奇数时，
其中幅度函数：
＝得到
＝得到
＝
，，。
所以，得出，。
得出第一类FIRDF的特点：
✓恒相时延，相位曲线是过原点的曲线；
✓可通过h（n）灵活设计幅度函数的零点位置；
✓幅度函数对频率轴零点偶对称，对点偶对称。
（1），当N为偶数时，
其中＝
得到＝，
第二类FIRDF的特点：
✓恒相时延，相位曲线是过原点的直线；
✓幅度函数对频率轴零点偶对称；
✓幅度函数对频率轴点奇对称。
由的连续性，点一定是幅度函数的零点。
即时，在z=-1处有零点；
因此这类滤波器不适合高通或带阻滤波器。
（2），当N为奇数时
推导省略，结果是
，
。
第三类FIRDF的特点：
✓恒群时延，有附加相移，相位曲线是截距为、斜率为的直线；
✓幅度函数对零频点奇对称，零频是的零点；
✓对奇对称，也是的零点。
（2），当N为偶数时
第四类FIRDF的特点：
✓对偶对称。
（b）
（1），当，不论N为奇数还是偶数，中都含有项，，所以。
（2），N为偶数
，，因为（）是的奇数倍，因此＝0，即。
FIRDF线性相位的条件是什么？
总结四种FIRDF的特点：
◆当h（n）为实数且偶对称时，FIRDF为恒相时延，相位曲线是一条过原点、以为斜率的直线。
信号通过这类滤波器后，各种频率分量的时延都是。
当N为奇数时，时延是整数，是采样间隔的整数倍，采样点时延后仍是采样点。
但当N为偶数时，时延不是整数，采样点时延后就不在采样点位置上了，这在某些应用场合会带来一些意外的问题。
同时，N为偶数时，点是幅度的零点，不能做高通、带阻滤波器。
一般情况下，第一类FIRDF特别适合做各种滤波器。
◆当h（n）为实数且奇对称时，FIRDF仅是恒群时延。
相位曲线是一条截距为／2，以为斜率的直线。
信号通过该滤波器产生的时延也是个采样周期，但另外对所有频率分量均有一个附加的90度的相移。
单边带调制及正交调制正需要这种特性。
因此这种滤波器特别适合做希尔伯特滤波器以及微分器。
FIR滤波器的极点都在原点上，而h（n）是因果稳定的有限长序列，因此H（z）在有限z平面上是稳定的。
线性相位FIRDF的零点有自己的特点：
它们必定是互为倒数的共轭对。
证明如下：
（线性相位）
（z变换的性质）
如果是一个零点，代入上式有
＝0
，则也是零点。
因为零极点总是成共轭对出现（有理分式特性），
所以，也是零点。
所以，，，都是零点。
2．窗函数设计法
因为，对FIR系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。
因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为H（z）的系数，冲击响应长度N就是系统函数H（z）的阶数。
只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。
一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。
2.1设计原理
设计目标：
设计一个线性相位的FIRDF；
已知条件：
要求的理想频率响应。
是w的周期函数，周期为，可以展开成傅氏级数＝，其中是与理想频响对应的理想单位抽样响应序列。
但不能用来作为设计FIRDF用的h（n），因为一般都是无限长、非因果的，物理上无法实现。
分析：
为了设计出频响类似于理想频响的滤波器，可以考虑用h（n）来近似。
窗函数的基本思想：
先选取一个理想滤波器（它的单位抽样响应是非因果、无限长的），再截取（或加窗）它的单位抽样响应得到线性相位因果FIR滤波器。
这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器。
例1：
设截止频率为的理想FIR低通滤波器，其理想频响是
，其中称为采样延时。
对应的由下式求出：
注意：
关于对称，这对设计线性相位的FIRDF很重要。
为了从中得到FIR滤波器，可以对进行截取，如果要得到一个线性相位、因果的FIR滤波器，则设截取后得到的h（n）的长度为M，h（n）一定满足
这种操作称为“加窗”。
h（n）可看作是和的乘积
其中
根据的不同定义，可得到不同的窗函数。
在上例中
称为矩形窗。
在频域中，因果FIR滤波器响应由和窗响应的周期卷积得到。
即。
矩形窗的窗谱
＝，它的幅度函数为。
当很小时，，这是一个函数，每隔正负交替一次。
由卷积定义得到
卷积结果如图7-8所示。
比较加矩形窗后的低通频谱和理想低通频谱可得到以下结论：
◆加窗使过渡带变宽，过渡带的带宽取决于窗谱的主瓣宽度。
矩形窗情况下的过渡带宽是。
N越大，过渡带越窄、越陡；
◆过渡带两旁产生肩峰，肩峰的两侧形成起伏振荡。
肩峰幅度取决于窗谱主瓣和旁瓣面积之比。
矩形窗情况下是8.95％，与N无关。
工程上习惯用相对衰耗来描述滤波器，相对衰耗定义为
这样两个肩峰点的相对衰耗分别是0.74dB和-21dB。
其中（-0.0895）对应的点的值定义为阻带最小衰耗。
以上的分析可见，滤波器的各种重要指标都是由窗函数决定，因此改进滤波器的关键在于改进窗函数。
窗函数谱的两个最重要的指标是：
主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。
旁瓣峰值衰耗定义为：
旁瓣峰值衰耗＝20lg（第一旁瓣峰值／主瓣峰值）
为了改善滤波器的性能，需使窗函数谱满足：
◆主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带；
◆第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少，使设计出来的滤波器的肩峰和余振小。
但上面两个条件是相互矛盾的，实际应用中，折衷处理，兼顾各项指标。
2.2几种常用的窗口函数
1．矩形窗
2．三角窗
它是由两个长度为N／2的矩形窗进行线性卷积而得到。
3．汉宁（hanning）窗，也称升余弦窗
它的思路是：
通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。
上式可写成
对应的频谱为
式中是矩形窗谱。
当N较大时，近似等于，这样可看作是三个不同位置矩形窗谱的叠加。
叠加付出的代价是主瓣增宽一倍，得到的好处是旁瓣峰值衰耗由-13dB增加到-31dB。
4．海明（hamming）窗
海明窗是海宁窗的修正，系数稍作变动使叠加后效果更好。
5．布莱克曼（Blackman）窗
是5个矩形窗谱的叠加。
6．凯塞（Kaiser）窗
相关参数见书上的表。
2.3窗口法的设计步骤和实例
窗口法的基本思想：
根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度N和窗函数，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。
窗口法的设计步骤：
◆给定理想频响函数；
◆根据指标选择窗函数。
确定窗函数类型的主要依据是过度带宽和阻带最小衰耗的指标；
◆由求，加窗得
◆检验。
由求，求是否在误差容限之内。
书上354［例7-1］
例2：
用窗口法设计一个满足下列指标的线性相位低通FIR滤波器：
（通带波动）（为通带截止频率）
（阻带最小衰减）
海明窗和布莱克曼窗均可提供大于50dB的衰减。
选择海明窗，因为过渡带窄些，从而具有较小的阶数。
（1）给定理想频响
设，根据已知的条件可近似出。
因此
，要使设计的FIR滤波器为线性相位，则为。
（2）确定窗的形状，根据过渡带宽确定N
选择海明窗，其阻带最小衰减为-53dB。
所要求的过渡带宽。
海明窗过渡带宽满足，得出66。
＝＝32.5
（3）确定FIR滤波器的h（n）
时域和频域的图形如下：
2.4线性相位FIR高通、带通、带阻滤波器的设计
P355~359自学
3.频率抽样设计法
总结窗函数法：
（1）从时域角度出发，用来近似，从而逼近。
（2）有限长，无限长，存在截取，用什么样的窗来截取会有不同的过渡带、阻带最小衰减。
相对而言，三角形窗、海明窗、汉宁窗效果比矩形窗好，因为它们在边缘处不是陡然下降的。
目的：
设计FIRDF，只要能求出或或即可。
所设计的滤波器的两个重要指标：
过渡带带宽和阻带最小衰减。
已知：
理想DF特性。
思路：
（a）（窗函数法）
（b）（频率抽样法）
步骤：
（1）；
给定理想频响
（2）令＝，为实际FIRDF的的抽样值，即
＝＝，k=0，1，…，N-1（确定采样点数，对理想频响采样得H（k））；
（3）已知求或，用内插公式得到FIR系统函数
根据IDFT有，
对于FIR系统，有，结合两式得：
（＊）
从上式可看出：
当采样点数N已知后，便是常数，只要采样值确定，则系统函数就可确定，要求的FIR滤波器就设计出来了。
上式形式的FIR滤波器很容易以频率采样型结构实现。
频率采样法的步骤可归纳为：
（1）给定理想频响；
（2）确定采样点数，对理想频响采样得；
（3）代入（＊）式中，即得FIR系统函数。
下面讨论频率采样法设计出来的FIRDF的性能。
3.1线性相位FIRDF的约束条件
若，其中、分别是对幅度函数和相位函数的第个抽样。
因为是实数，所以一定满足共轭偶对称式（3-59）：
（1）
又因为线性性，满足对称性，所以对一般滤波用的第1、2类FIR滤波器，必须满足条件：
（2）
对于正交网络、微分器（第3、4类FIR滤波器，必须满足条件：
（3）
综合以上条件，只有当满足式
（1），满足式
（2）、（3）之一时，才有线性相位。
如果理想频响给得不好或采样点位置安排得不恰当，都将得不到线性相位。
只有当满足上面的约束条件时，对[0，]区间上抽取一半频率样点，而其余的一半根据约束条件强行推出。
3.2FIRDF的频率响应
根据设计出来的，可得出频响
＝
其中：
＝。
上式是由离散谱求连续谱的内插公式，是内插函数，它的图形近似sinc[.]。
滤波器频谱等于以理想谱抽样值为权值的、以为中心位置的N个sinc[.]函数之和。
由采样点恢复出来的谱与理想谱相比，在采样点上是完全吻合的，这是由sinc[.]函数特点决定的，它在（）处的幅度都是零，一个样点扥诶插函数对其它样点的值没有任何干扰。
但在两样点之间，的值是各样点的
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