黎曼积分和勒贝格积分定义的比较Word格式.docx

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黎曼积分和勒贝格积分的比较

数学系本1０01班　王海荣

指导老师：

张炎彪

摘　要:

本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系,通过两者的定义、被积函数的连续性,有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势,同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广,但是却不是黎曼反常积分的推广。

关键词:

黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。

ＲｉｅmaｎniｎｔｅgrａlａnｄtheLebesgueintｅgｒaｌ

WangHａiroｎｇ

Clａss1001，ＭaｔhematｉcsDｅｐartmｅnｔ

Tuｔoｒ:

ZhangYanｂiao

Ａbstｒact：

Iｎmyｔhesis,basｅdonｔheｋnoｗlｅdgｅｏf　theRｉemａｎniｎtegrａｌ　anｄtｈeLebesｇｕeinｔegｒal,ｗe　want　tｏｅxploreanｄ　sｕmmａrｉｚethe　ｄiｆｆerenceandconneｃtｉonbｅｔｗeentheＲiemanｎ　ｉntegｒaｌ　aｎdtheＬｅbesｇｕｅｉｎtegraｌ．Through　the　dｅfiｎｉtionofboth　itemｓ,thecoｎtiｎuityand　bouｎdednessｏｆtheiｎtｅgｒanｄ,theconveｒgｅnceｃｏndiｔion,theiｎｔermeｄiatevａluetheorem,ａbsoｌｕteInteｇrability　aｎd　thecｏｍpａrｉsonoｆthe　ｂroaｄ　seｎｓｅｏfRｉｅmanninｔeｇｒalandtｈｅＬｅbesgｕeinteｇｒal,Itｓhoｗs　Lebesgue　intｅgｒａlhassome　advantages　iｎtheｔreaｔmentofsｏmedｉffiｃultpｒoｂlｅｍsonRiｅｍａｎn　inｔｅｇraｌ,andalsopｏintesｏutｔhaｔｔhｅ　Leｂｅsｇuｅｉntｅgrａl　ｉs　anｉｍpoｒtantgeneralizaｔionoｆRｉemannｉntegral,ａndit　is　noｔ　the　pｒomotioｎofRiemannａnomalouｓiｎtegraｌ．　

Keｙｗorｄs:

Rｉemannｉnteｇral,Ｌebｅｓgueinｔegral，contiｎuity,boundedness.

1引言

黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。

虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分,而且还给出了定积分的相关论述,但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。

勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广,勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分,而后者是对函数定义域进行定义划分。

这两种积分既有联系又有区别，通过对这两种积分的对比研究,可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。

研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。

2积分理论的发展

在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。

黎曼在柯西的基础上对“基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。

很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方便的。

但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。

例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。

在谈论它们的可积性、可微性、连续性时,经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定下（一致收敛）才能对这种问题作出确定性的回答。

所以，人们在理论和使用上都急切的想要建立一种新的积分,它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性,又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。

这就需要对黎曼积分概念进行改良。

把积分学推向进步的是勒贝格，他在1９0２年成功引进一种新的积分——勒贝格积分,同时还引入了一门新的数学分支学科——实变函数论。

勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数,１８72年,康托提出集合论,引进了点集的概念,间断点可以看做一个整体进行考察,这样子就为间断点与可积性关系的探究提供了办法,勒贝格在原来的基础上推广了长度,建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度和外测度，如果时,我们称为可测集，并称内测度和外测度的公共值为点集的测度。

勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。

勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数,那么是一有界可测集,是定义在上的实函数，如果对任一实数,点集还是勒贝格可测集，则

是上的可测函数。

容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广,它是在测度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加以概括。

能够证明,区间上的任意连续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是不连续的可测函数。

利用可测函数,在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅,消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。

并在点集论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型——勒贝格积分。

彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概念。

这两种积分既有区别又有联系,通过对这两种积分的对比研究,能让我们加深对积分理论及应用的理解。

3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

3.1黎曼积分

黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的，它是从划分闭区间上着手，利用极限想法来进行定义的。

定义1设函数在上有以下定义。

随意给一个划分:

==,然后在所有小区间上任意取一点，。

记区间的长为=,令。

作积分和

为。

假设当时，那么积分和的极限是，即

，且数与划分无关,也与的取值无关，则称

函数在黎曼可积,是在上的黎曼积分，表示为

。

假设当时,积分和极限不存在,称函数在

上是不可积。

黎曼积分的定义知道:

若函数在上黎曼可积，那么在上必定有界。

换句话说,若函数在上无界，则在上必定不是黎曼可积。

3.2勒贝格积分

利用与黎曼积分类似的思想,从划分函数值域着手利用极限思想来定义勒贝格积分。

定义2设函数是上的有界可测函数，。

任意给

一个划分。

然后考虑集合,

当,给勒贝格定义小和及大和,,,

则会有和,其中。

所

以定义函数在上的勒贝格积分为。

由定义可以知道在有界区间上的有界可测函数勒贝格积分总是存在的。

比较黎曼积分的定义1和勒贝格积分的定义２，会使人们觉得,黎曼积分是对区间进行划分来思索的,然而勒贝格积分是从对函数值域进行划分来思索的。

但这并不是它们真正区分的实质。

因为我们也可以不需要划分函数值域的方法去定义L黎曼积分,以下称为3定义。

定义3设是上的非负可测的简易函数,它在点集上

取值。

假如是可测集，那么定义

非负可测简易函数在上的勒贝格积分为。

设是上的非负可测函数，我们定义是上的勒贝格积分，为

是上的非负可测简易函数。

若

则称在上是勒贝格可积的。

设是上的可测函数，,

如果积分中最起码有一个是有限的，则称

为在上的勒贝格积分；

如果上面式子右边两个积分都有限时，则称在上是勒贝格可积的。

从勒贝格积分的定义3可以知道,在这没有对函数值域作出任何的划分,而是从非负可测简单函数角度来定义可测函数的勒贝格积分，固然勒贝格积分的这两个定义是相等的。

虽然在上黎曼可积的函数是勒贝格可积的，但反过来说明就不一定是成立的。

所以对区间作划分上的区别只是表面现象，并不是勒贝格积分定义的本义性质。

4黎曼积分与勒贝格积分的关系

我们已经差不多建立好了勒贝格积分理论，在进一步说明这一理论的其他内容之前,我们可以先揭示它与黎曼积分的关系。

它们的关系能用一个公式来表示,它不但阐明勒贝格积分是黎曼积分的一种推广,而且为一般有界函数的黎曼可积性提供了一个简单的判别准则。

本文将从一维的情形进行探讨，在这里要用到黎曼积分理论的下述结果：

设是定义在上的有界函数，是对所做的分划序列:

，，

若令（对每个以及），

则关于的Darboｕx上,下积分下述等式成

立:

　，。

引理1设是定义在上的有界函数,记是在上的

振幅（函数），我们有。

左端是在上的勒贝

格积分。

证明因为在上是有界的,所以是上的有界函数,所以

对于之前所述说的分划序列，作下列函数列有

,

显然且有。

我们记各是上

的上确界、下确界，存在一切,有,所以根据控制收敛定理（控

制函数是常数函数）可以得到。

从另一方面看，因为

得到。

定理1函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的一切要成一零测集。

５黎曼积分和勒贝格积分性质的比较

5.１被积函数绝对可积性的比较

我们都知道如果在上是可积的,那么在上也是可积的，这就

说明了对于勒贝格积分来说，在上可积与在上可积是相互等的，但是对于黎曼积分来说,这个性质反而不成立。

例１　,显然,在上不是黎曼可积；

但是,在上黎曼可积。

５．2被积函数的有界性的比较

由定理１我们知道函数黎曼可积的充分必要条件是函数不连续点的全体要成一零测集,函数连续点的全体所构成的集合也一定是稠密集,简略说明，黎曼积分理论是针对连续函数或“基本上”连续的函数而建立，同时说明可积函数必定是有界的。

定理２　如果函数黎曼可积,那么必定有界。

设在可测集上是可测的,这时我们可定义

，称在上的勒贝格积分。

其中

令，则,容易得

出,如果在上是可测的,那么与在上也是可测,反之亦然。

而且对于测度有限的可测集上的可积函数来说,总是有

定义4设在可测集上是可测的,假如在上述定义下的

和不同时为时，那么我们称在上积分是确定的，

并且定义是在上的勒贝格积分，要是此

积分有限，我们称在上勒贝格可积。

定理３设为可测集上的有界函数,那么在上勒贝格可积的充分必要条件是在上是可测的。

由此我们知道勒贝格积分与黎曼积分相比较下有着明显的优点,它将可积函数类扩大成一般可测函数，而不仅仅是限于有界函数。

５.3中值定理

在黎曼积分中,有以下中值定理:

定理4（第一中值定理）设在上连续，则存在,使得

定理５（第二中值定理）设在上可积，

（i）如果函数在上递减,且,则存在，使得

（ii）如果函数在上递增，且,则存在,使得

推论2设函数在上可积，如果为单调函数,则存在，使得

在勒贝格积分中,我们知道了从非负可测函数积分的几何意义到一般可测函数积分的几何意义。

定理6（非负可测函数积分的几何意义）设是可测集上的非负

函数,那么当在上可测时,有。

推论3设是上可积函数,则。

　５.4被积函数连续性的比较

如果是定义在上的有界函数,那么在上是黎曼可积的充分条件是在上的不连续点集