高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解Word格式.docx

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C．－2<

m<

4D．－4<

2

[解析]　∵x>

0，且＋＝1，

∴x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又＋＝1，∴x＝4，y＝2，∴（x＋2y）min＝8，要使x＋2y>

m2＋2m恒成立，只需（x＋2y）min>

m2＋2m，即8>

m2＋2m，解得－4<

2.

（理）（2010·

东北师大附中）已知正项等比数列{an}满足：

a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为（　　）

A.　　　B.　　　

C.　　　D．不存在

[答案]　A

[解析]　由已知an>

0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋，∴q2－q－2＝0，∵q>

0，∴q＝2，

∵＝4a1，∴a12·

qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，

∴m＋n＝6，

∴＋＝（m＋n）＝≥＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．

3．（2010·

茂名市模考）“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋≥1”的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

[解析]　∵a＝，x>

0时，x＋≥2＝1，等号在x＝时成立，又a＝4时，x＋＝x＋

≥2＝4也满足x＋≥1，故选A.

4．（2010·

广西柳州市模考）设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不是充分条件也不是必要条件

[解析]　a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.

5．若a>

0，b>

0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

[解析]　∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝×

2＝1.

a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，

∵≤，∴ab≤＝.∴原式≥1＋4.

∴α＋β的最小值为5.故选D.

6．（文）若直线2ax－by＋2＝0（a>

0）被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心（－1,2），∴a＋b＝1.

∴＋＝（a＋b）＝2＋＋≥4.

当且仅当a＝b＝时取等号．

（理）半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为（　　）

A．8B．16C．32D．64

[答案]　C

[解析]　根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝（ab＋ac＋bc）≤＝＝32.

等号在a＝b＝c＝时成立．

7．（文）已知c是椭圆＋＝1（a>

b>

0）的半焦距，则的取值范围是（　　）

A．（1，＋∞）B．（，＋∞）

C．（1，）D．（1，]

[解析]　由题设条件知，a<

b＋c，∴>

1，

∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.故选D.

（理）已知F1、F2分别为双曲线－＝1（a>

0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．（1，＋∞）B．（1,2]

C．（1，]D．（1,3]

[解析]　＝＝＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝≤3，∴e∈（1,3]．

8．（2010·

南昌市模拟）已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是（　　）

[答案]　B

[解析]　∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0<

a<

1，设t＝2a，则t∈（1,2），M＝2a＋2b＝2a＋21－a＝t＋≥2，等号在t＝时成立，又t＝1或2时，M＝3，∴2≤M<

3，故选B.

9．（2010·

河南新乡调研）已知全集R，集合E＝{x|b<

}，F＝{x|<

a}，M＝{x|b<

x≤}，若a>

0，则集合M等于（　　）

A．E∩FB．E∪F

C．E∩（∁RF）D．（∁RE）∩F

[解析]　∵a>

0，

∴a＝>

>

＝b，

如图可见集合M在E中，不在F中，故M＝E∩∁RF.

10．（文）（2010·

衡水市模考）已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ（λ>

0），＝μ（μ>

0），则＋的最小值是（　　）

A．9B.

C．5D.

[解析]　＝－＝（＋）－

＝（λ＋μ）－＝＋，

＝－.

∵与共线，且与不共线，∴＝，

∴λ＋μ＝2，∴＋＝（λ＋μ）

＝≥，等号在μ＝，λ＝时成立．

广东省高考调研）如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为（　　）

A.B．1

C．2D．3

[解析]　以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为（1,1），B（0,2）、C（2,0），∵＝m，＝n，

∴＝，＝，∴M、N，

∴直线MN的方程为＋＝1，

∵直线MN过点P（1,1），∴＋＝1，∴m＋n＝2，

∵m＋n≥2，∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.

二、填空题

11．（2010·

山东聊城、山东邹平一中模考）已知b>

0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－（b2＋4）y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．

[答案]　4

[解析]　∵两直线垂直，∴ab2－（b2＋4）＝0，∴a＝，∵b>

0，∴ab＝＝b＋≥4，等号在b＝，即b＝2时成立．

12．（文）（2010·

重庆文，12）已知t>

0，则函数y＝的最小值为________．

[答案]　－2

[解析]　y＝＝t＋－4

因为t>

0，y＝t＋－4≥2－4＝－2.

等号在t＝，即t＝1时成立．

安徽合肥六中质检）已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝的图象都过点A，且点A在直线＋＝1（m>

0，n>

0）上，则log2m＋log2n的最小值为________．

[解析]　由题易得，点A的坐标为（2,4），因为点A在直线＋＝1（m>

0）上，所以1＝＋≥2，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2（mn）≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.

13．（文）（2010·

南充市）已知正数a，b，c满足：

a＋2b＋c＝1则＋＋的最小值为________．

[答案]　6＋4

[解析]　＋＋＝＋＋＝＋＋＋4≥2＋2＋2＋4＝6＋4，

等号在＝，＝，＝同时成立时成立．

即a＝c＝b＝1－时等号成立．

北京延庆县）已知x>

0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是________．

[答案]　

[解析]　∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·

8y＝2，即2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝x·

（3y）≤·

2＝，等号在x＝3y，即x＝，y＝时成立．

14．（文）（2010·

重庆一中）设M是△ABC内一点，且·

＝2，∠BAC＝30°

，定义f（M）＝（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f（M）＝，则＋的最小值是________．

[答案]　18

[解析]　∵·

＝||·

||cos30°

＝|AB|·

|AC|＝2，∴|AB|·

|AC|＝4，

由f（M）的定义知，S△ABC＝＋x＋y，

又S△ABC＝|AB|·

|AC|·

sin30°

＝1，

∴x＋y＝（x>

0）

∴＋＝2（x＋y）＝2≥2（5＋2）＝18，等号在＝，即y＝2x＝时成立，∴min＝18.

江苏无锡市调研）设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．

[答案]　2

[解析]　由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，

∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A（a,0）和（0，b），不妨设a>

0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.

三、解答题

15．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos（α＋β）．

（1）当α＋β＝，求tanβ的值；

（2）当tanβ取最大值时，求tan（α＋β）的值．

[解析]　

（1）∵由条件知，sinβ＝sin，

整理得sinβ－cosβ＝0，

∵β为锐角，∴tanβ＝.

（2）由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，

∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，

∴tanβ＝＝

＝＝≤＝.

当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，

∴tanα＝时，tanβ取得最大值，

此时，tan（α＋β）＝＝.

16．（文）（2010·

江苏盐城调研）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.

（1）当DQ的长度是多少时，S最小？

并求S的最小值．

（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？

[解析]　

（1）设DQ＝x米（x>

0），则AQ＝x＋20，

∵＝，∴＝，

∴AP＝，则S＝×

AP×

AQ＝

＝15（x＋＋40）≥1200，当且仅当x＝20时取等号．

（2）∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，

∴0<

x≤或x≥60

答：

（1）当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米；

（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0<

DQ≤或DQ≥60.

（理）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

（1）试将年利润W（万元）表示为年广告