高中数学专题训练Word文档下载推荐.docx
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①如果在附近的左侧>0,右侧<0,那么是极大值;
②如果在附近的左侧<0,右侧>0,那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号,而不是=0①.此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②.当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).
注①:
若点是可导函数的极值点,则=0.但反过来不一定成立.对于可导函数,其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零.
例如:
函数,使=0,但不是极值点.
②例如:
函数,在点处不可导,但点是函数的极小值点.
5.极值与最值区别:
极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
6.几种常见的函数导数:
I.(为常数)
()
II.
1、(广东卷)函数是减函数的区间为()
(A)(B)(C)(D)
2.(全国卷Ⅰ)函数,已知在时取得极值,则=()
(A)2(B)3(C)4(D)5
3.(湖北卷)在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是()
A.3B.2C.1D.0
4.(江西)已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是(C)
5.(浙江)函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=()
(A)(B)(C)(D)1
6.(重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为______8/3____。
7.(江苏卷)(14)曲线在点(1,3)处的切线方程是
8.(全国卷III)曲线在点(1,1)处的切线方程为x+y-2=0
9.(北京卷)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为(1,e);
,切线的斜率为e.
高中数学专题训练—二次函数与幂函数
一、选择题
1.“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax+3在区间[1,+∞)上为增函数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 本题为二次函数的单调性问题,取决于对称轴的位置,若函数f(x)=x2-2ax+3在区间[1,+∞)上为增函数,则有对称轴x=a≤1,故“a=1”是“函数f(x)=x2-2ax+3在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件.
2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>
0,A不符合条件,若a<
0,D不符合条件,若b>
0,对B,∴对称轴-<
0,不符合,∴选C.
3.函数y=xα(x≥1)的图象如图所示,α满足条件( )
A.α<
-1
B.-1<
α<
C.0<
1
D.α>
解析 类比函数y=x即可.
4.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f
(1),那么( )
A.f
(2)>
f(3)
B.f(3)>
f
(2)
C.f(3)=f
(2)
D.f(3)与f
(2)的大小关系不确定
解析 ∵f(4)=f
(1)
∴对称轴为,∴f
(2)=f(3).
5.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.[0,2]
C.[1,2]D.(-∞,2]
解析 由函数的单调性和对称轴知,1≤m≤2,选C.
6.(2010·
安徽卷)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( )
答案 D
解析 若a>0,b<0,c<0,则对称轴x=->0,函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方.故选D.
7.已知f(x)=ax2+2ax+4(0<
a<
3),若x1<
x2,x1+x2=1-a,则( )
A.f(x1)>
f(x2)
B.f(x1)<
C.f(x1)=f(x2)
D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
答案 B
解析 解法1:
设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),∵=∈(-1,),又对称轴x=-1,∴AB中点在对称轴右侧.∴f(x1)<
f(x2),故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性:
对称轴已知).
解法2:
作差f(x1)-f(x2)=(ax+2ax1+4)-(ax+2ax2+4)=a(x1-x2)(x1+x2+2)=a(x1-x2)(3-a)
又0<
3,∴f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2),故选B.
二、填空题
8.已知y=(cosx-a)2-1,当cosx=-1时y取最大值,当cosx=a时,y取最小值,则a的范围是________.
解析 由题意知
∴0≤a≤1
9.抛物线y=8x2-(m-1)x+m-7的顶点在x轴上,则m=________.
答案 9或25
解析 y=82+m-7-8·
2
∵顶点在x轴∴m-7-8·
2=0,∴m=9或25.
10.(2010·
衡水调研)设函数f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2010)))=________.
答案
解析 f3(2010)=20102 f2(20102)=(20102)-1=2010-2
f1(2010-2)=(2010-2)=2010-1=.
11.在函数f(x)=ax2+bx+c中,若a,b,c成等比数列且f(0)=-4,则f(x)有最________值(填“大”或“小”),且该值为________.
答案 大 -3
解析 ∵f(0)=c=-4,a,b,c成等比,∴b2=a·
c,∴a<
∴f(x)有最大值,最大值为c-=-3.
12.已知幂函数f(x)=x在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,那么最小的正整数a=________.
答案 3
13.方程x2-mx+1=0的两根为α,β,且α>
0,1<
β<
2,则实数m的取值范围是________.
答案 2<
m<
解析 令f(x)=x2-mx+1
由题意知⇒2<
.
三、解答题
14.已知函数f(x)=-xm,且f(4)=-.
(1)求m的值;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
答案
(1)m=1
(2)递减
解析
(1)∵f(4)=-,
∴-4m=-.∴m=1.
(2)f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减,证明如下:
任取0<
x1<
x2,则
f(x1)-f(x2)=(-x1)-(-x2)
=(x2-x1)(+1).
∵0<
x2,∴x2-x1>
0,+1>
0.
∴f(x1)-f(x2)>
0,∴f(x1)>
f(x2),
即f(x)=-x在(0,+∞)上单调递减.
15.(2011·
山东省实验中学)已知对于任意实数x,二次函数f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非负的,求函数g(a)=(a+1)(|a-1|+2)的值域.
答案 [-,9]
解 由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,
∴-≤a≤2.
①当-≤a<
1时,
g(a)=(a+1)(-a+3)=-a2+2a+3=-(a-1)2+4,
∴由二次函数图象可知,
-≤g(a)<
4.
②当1≤a≤2时,g(a)=(a+1)2,
∴当a=1时,g(a)min=4;
当a=2时,g(a)max=9;
∴4≤g(a)≤9.
综上所述,g(a)的值域为[-,9].
1.若函数f(x)=log(x2-6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-∞,1]B.(3,+∞)
C.(-∞,3)D.[5,+∞)
解析 f(x)的减区间为(5,+∞),若f(x)在(a,+∞)上是减函数,则a≥5,故选D.
2.设b>
0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值为( )
A.1B.-1
C.D.
解析 ∵b>
0,∴不是前两个图形,
从后两个图形看->
0,∴a<
故应是第3个图形.
∵过原点,∴a2-1=0.结合a<
0.∴a=-1.
3.
如图所示,是二次函数y=ax2+bx+c的图象,则|OA|·
|OB|等于( )
A.B.-
C.±
D.无法确定
解析 ∵|OA|·
|OB|=|OA·
OB|=|x1x2|=||=-(∵a<
0,c>
0).
4.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b=( )
A.3B.2或3
C.2D.1或2
解析 函数在[1,+∞)上单增
∴b=b2-2b+2解之得:
b=2或1(舍).
5.函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,则实数a的取值范围是( )
A.0≤a≤1B.0≤a≤2
C.-2≤a≤0D.-1≤a≤0
解析 f(x)=-x2-2ax=-(x+a)2+a2
若f(x)在[0,1]上最大值是a2,
则0≤-a≤1,即-1≤a≤0,故选D.
1.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,则f(x)=________.
答案 x2-x+1
解析 设f(x)=ax2+bx+c,∵f(0)=1,∴c=1,f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x
∴a=1,b=-1.
∴f(x)=x2-x+1.
2.若函数f(x)=(a-1)x2+(a2-1)x+1是偶函数,则在区间[0,+∞)上f(x)是( )
A.减函数
B.增函数
C.常函数
D.可能是减函数,也可能是常函数
解析 函数f(x)是偶函数,∴a2-1=0
当a=1时,f(x)为常函数
当a=-1时,f(x)=-x2+1在[0,+∞)为减函数,选D.
3.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<
b),并且α、β是方程f(x)=0的两个根(α<
β),则实数a、b、α、β的大小关系可能是( )
b<
βB.a<
b
C.a<
βD.α<
解析 设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=g(x)-2,分别作出这两个函数的图象,如图所示,可得α<
β,故选A.
4.设f(x)=x2+bx+c,且f(-1)=f(3),则( )
A.f
(1)>c>f(-1) B.f(1