高等数学第一章函数与极限试题Word文档格式.docx
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B）
=e
C）
=-eD）
=e
5．已知
，则
（）。
A.1；
B.
；
C.
D.
。
6．极限：
（）
7．极限：
=（）
C.0；
D.2．
8．极限：
=（）
A.0；
C
9.极限：
C.2；
D.
．
10．极限:
C.
D.16．
二.填空题
11．极限
=.
12.
=_______________.
13.若
在点
连续，则
=_______________；
14.
___________；
15.
_________________；
16.若函数
，则它的间断点是___________________
17.绝对值函数
其定义域是,值域是
18.符号函数
其定义域是，值域是三个点的集合
19.无穷小量是
20.函数
在点x0连续，要求函数y=f（x）满足的三个条件是
三.计算题
21.求
22.设f（e
）=3x-2,求f（x）（其中x>
0）;
23.求
（3－x）
;
24.求
（
）
25.求
26.已知
，求
的值；
27.计算极限
28.求它的定义域。
29.判断下列函数是否为同一函数：
⑴ f（x）＝sin2x＋cos2xg（x）＝1
⑵
⑶
⑷
⑸y＝ax2s＝at2
30.已知函数f（x）＝x2-1，
求f（x+1）、f（f（x））、f（f（3）+2）
31.求
32.求
33.求
34.求
35.判断下列函数在指定点的是否存在极限
⑴
⑵
36.
37.
38.
39.求当x→∞时，下列函数的极限
40.求当x→∞时，下列函数的极限
41.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.研究函数在指定点的连续性
x0＝0
49.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
x＝1
50.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
，x＝０
51.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
52.证明f（x）＝x2是连续函数
53.
54.
55.试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根
56.
57.试证正弦函数y=sinx在（-∞,+∞）内连续。
58.函数f（x）=x=
在点x=0处是否连续？
59.函数
=
是否在点
连续？
60.求极限
.
答案：
一.选择题
1.A【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】方法一：
任一原函数可表示为
，且
当F（x）为偶函数时，有
，于是
，即
，也即
，可见f（x）为奇函数；
反过来，若f（x）为奇函数，则
为偶函数，从而
为偶函数，可见（A）为正确选项.
方法二：
令f（x）=1,则取F（x）=x+1,排除（B）、（C）;
令f（x）=x,则取F（x）=
排除（D）;
故应选（A）.
【评注】函数f（x）与其原函数F（x）的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f（x）与其原函数F（x）的有界性之间有何关系?
2.D【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】由于函数f（x）在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
且
，所以x=0为第二类间断点；
，
，所以x=1为第一类间断点，故应选（D）.
【评注】应特别注意：
从而
3C
4A
5C
6
7A
8
∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。
先恒等变形，将函数“有理化”：
原式=
.（有理化法）
9D
10
解原式
.▌
注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。
如上例中若对分子的每项作等价替换，则
原式
二.填空题
11.2
12.1
13.0
14.5
15.
16.
17.
18.
19.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量
20.①函数yf（x）在点x0有定义；
②x→x0时极限
存在；
③极限值与函数值相等，即
21.【分析】
型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
【详解】
=
22.
（x）=3lnx+1x＞0
23.
24.
25.
26.
27.3
28.解：
由x＋2≥０解得x≥-2
由x－１≠０解得x≠１
由5－２x＞０解得x＜2.5
函数的定义域为
｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）
29.⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。
⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。
⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。
30.解：
f（x+1）＝（x+1）2-1＝x2+2x，
f（f（x））＝f（x2-1）＝（x2-1）2-1＝x4-2x2
f（f（3）+2）＝f（32-1+2）＝f（10）＝99
31.解：
32.解：
33.解：
34.解：
35.解：
⑴
因为
，
所以函数在指定点的极限不存在。
⑵因为
所以函数在指定点的极限
36.
37.
38.
39.
40.
43.=
49.间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点
50.间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点
51.间断，
但f（0）＝1，两者不相等，第一类间断点
52.证明：
x0∈（－∞,＋∞）
因为
，f（x0）=x02
所以
因此，函数f（x）＝x2是连续函数。
55.证明：
设f（x）＝2x3－3x2＋2x－3，
则f（x）在[1,2]上连续，f
（1）＝－2<
0，f
（2）＝5>
根据零点定理，必存在一点ξ∈（1,2）使f（ξ）＝0，
则x＝ξ就是方程的根。
56.原式
57.证xÎ
（-∞,+∞），任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量
Δy=sin（
+Δx）-sinx=
∵
，由夹逼准则知，△y→0（Δx→0），再由x的任意性知正弦函数y=sinx在其定义域（-∞,+∞）上处处连续，即它是连续函数。
58.解注意f（x）是分段函数，且点
两侧f表达式不一致。
解法1∵f（0-0）=
，
f（0+0）=
，∴
.
又f（0）=0，∴函数f（x）=x在点x=0处连续（图1—19）。
解法2∵
，∴函数在点
左连续；
又∵
右连续，所以函数在点
连续。
59.证虽然f是分段函数，但点x=0两侧函数表达式一致。
∴
在点x=0处连续
60.解令ax–1=t，则x=loga（1+t），当x→0时，t→0,
∴原式
特别地，
，这表明x→0时，xex-1.
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