高等数学第一章函数与极限试题Word文档格式.docx

1、 B） =e C） =-e D） =e5已知，则（ ）。A.1； B.； C. D.。6极限：（ ）7极限：=（ ） C.0； D.28极限：=（ ）A.0； C 9. 极限： C.2； D. 10极限: C. D.16二. 填空题11极限= .12. =_.13. 若在点连续，则=_；14. _；15. _；16. 若函数，则它的间断点是_17. 绝对值函数 其定义域是 ,值域是 18. 符号函数 其定义域是 ，值域是三个点的集合 19. 无穷小量是 20. 函数在点x0 连续，要求函数y = f （x） 满足的三个条件是 三. 计算题21.求22.设f（e）=3x-2,求f（x）（其中x0

2、）;23.求（3x）;24.求（）25.求26. 已知，求的值；27. 计算极限28.求它的定义域。29. 判断下列函数是否为同一函数：f（x）sin2xcos2x g（x）1 yax2 sat230. 已知函数 f（x）x2-1， 求f（x+1）、f（f（x）、f（f（3）+2）31. 求 32. 求 33. 求 34. 求 35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限 36. 37. 38. 39. 求当x时，下列函数的极限40. 求当x时，下列函数的极限41.41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 研究函数在指定点的连续性 x0049. 指出下列函数在指定点是否间断

3、，如果间断，指出是哪类间断点。 ,x150. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。 ，x51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。52. 证明f（x）x2是连续函数53. 54. 55. 试证方程2x33x22x30在区间1,2至少有一根56. 57. 试证正弦函数 y = sin x 在 （-, +） 内连续。58. 函数f （x） = x = 在点x = 0处是否连续？59. 函数= 是否在点连续？60. 求极限 .答案：一.选择题1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为

4、，且当F（x）为偶函数时，有，于是，即 ，也即，可见f（x）为奇函数；反过来，若f（x）为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见（A）为正确选项. 方法二：令f（x）=1, 则取F（x）=x+1, 排除（B）、（C）; 令f（x）=x, 则取F（x）=, 排除（D）; 故应选（A）.【评注】 函数f（x）与其原函数F（x）的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f（x）与其原函数F（x）的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.【详解】 由于函数f（x）在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且 ，所以x=0为第二类间断点；，所以

5、x=1为第一类间断点，故应选（D）.【评注】 应特别注意： 从而3 C4 A5 C6 7 A8 x时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式 = . （有理化法） 9 D10 解 原式. 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式二.填空题11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 16. 17 .18. 19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . 函数y f （x） 在点x0有定义； xx0 时极限存在； 极限值与函数值相等，即 21

6、. 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 =22. （x）=3lnx+1 x023.24.25.26. 27. 328. 解：由x2解得x-2由x解得x由5x解得x2.5函数的定义域为x2.5x-2且x1或表示为（2.5,1）（1,-2）29. 、是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。不是同一函数，因为它们的定义域不相同。不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。 30. 解：f（x+1）（x+1）2-1x2+2x，f（f（x）f（x2-1）（x2-1）2-1x4-2x2f（f（3）+2）f（32-1+2）f（10）9931 . 解

7、：32. 解：33 . 解：34 . 解：35 . 解： 因为 ， 所以 函数在指定点的极限不存在。 因为 所以 函数在指定点的极限36 . 37 . 38 . 39 . 40. 43. =49. 间断，函数在x1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点50. 间断，函数在x0处左右极限不存在，第二类间断点51. 间断，但f（0）1，两者不相等，第一类间断点52. 证明：x0（,）因为 ，f（x0）=x02所以 因此，函数f（x）x2是连续函数。55 . 证明：设f（x）2x33x22x3，则f（x）在1,2上连续，f（1）2根据零点定理，必存在一点（1,2）使f（）0，则x就是方程的根。56.

8、 原式57. 证 x （-, +），任给x一个增量x，对应的有函数y的增量y = sin（+x）-sin x = ，由夹逼准则知，y 0（x0），再由x的任意性知正弦函数y = sin x 在其定义域 （-, +）上处处连续，即它是连续函数。58. 解 注意f （x）是分段函数，且点两侧f表达式不一致。解法1 f （0 - 0） =， f （0 + 0） =， . 又f （0 ） = 0， 函数f （x） = x 在点x = 0处连续（图119）。解法2 ， 函数在点左连续；又 右连续，所以函数在点连续。59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。 在点x = 0处连续60. 解 令a x1 = t，则x = log a （1+t ） ，当x0时，t0, 原式 特别地，这表明x0时，x ex - 1.