函数的单调性与最值Word文件下载.docx

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2．最值

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥M）；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M.那么，称M是函数y＝f（x）的____________．

自我检测

1．（2011·

杭州模拟）若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上是（　　）

A．增函数B．减函数

C．先增后减D．先减后增

2．设f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a为实数，则有（　　）

A．f（a）<

f（2a）B．f（a2）<

f（a）

C．f（a2＋a）<

f（a）D．f（a2＋1）>

3．下列函数在（0,1）上是增函数的是（　　）

A．y＝1－2xB．y＝

C．y＝－x2＋2xD．y＝5

4．（2011·

合肥月考）设（a，b），（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1<

x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（　　）

A．f（x1）<

f（x2）B．f（x1）>

f（x2）

C．f（x1）＝f（x2）D．不能确定

5．当x∈[0,5]时，函数f（x）＝3x2－4x＋c的值域为（　　）

A．[c,55＋c]B．[－＋c，c]

C．[－＋c,55＋c]D．[c,20＋c]

探究点一　函数单调性的判定及证明

例1　设函数f（x）＝（a>

b>

0），求f（x）的单调区间，并说明f（x）在其单调区间上的单调性．

变式迁移1　已知f（x）是定义在R上的增函数，对x∈R有f（x）>

0，且f（5）＝1，设F（x）＝f（x）＋，讨论F（x）的单调性，并证明你的结论．

探究点二　函数的单调性与最值

例2　（2011·

烟台模拟）已知函数f（x）＝，x∈[1，＋∞）．

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）>

0恒成立，试求实数a的取值范围．

变式迁移2　已知函数f（x）＝x－＋在（1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

探究点三　抽象函数的单调性

例3　（2011·

厦门模拟）已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>

0时，f（x）<

0，f

（1）＝－.

（1）求证：

f（x）在R上是减函数；

（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值．

变式迁移3　已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x>

1时，f（x）<

0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）若f（3）＝－1，解不等式f（|x|）<

－2.

分类讨论及数形结合思想

例　（12分）求f（x）＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．

【答题模板】

解　f（x）＝（x－a）2－1－a2，对称轴为x＝a.

（1）当a<

0时，由图①可知，f（x）min＝f（0）＝－1，f（x）max＝f

（2）＝3－4a.[3分]

（2）当0≤a<

1时，由图②可知，f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f

（2）＝3－4a.[6分]

（3）当1<

a≤2时，由图③可知，f（x）min＝f（a）＝－1－a2，f（x）max＝f（0）＝－1.[9分]

（4）当a>

2时，由图④可知，f（x）min＝f

（2）＝3－4a，f（x）max＝f（0）＝－1.

综上，

（1）当a<

0时，f（x）min＝－1，f（x）max＝3－4a；

1时，f（x）min＝－1－a2，f（x）max＝3－4a；

a≤2时，f（x）min＝－1－a2，f（x）max＝－1；

2时，f（x）min＝3－4a，f（x）max＝－1.[12分]

【突破思维障碍】

（1）二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．

（2）不是应该分a<

0,0≤a≤2，a>

2三种情况讨论吗？

为什么成了四种情况？

这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f（0），也有可能是f

（2）．

1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：

（1）定义法；

（2）导数法；

（3）图象法；

（4）单调性的运算性质．

2．若函数f（x），g（x）在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）f（x）与f（x）＋C具有相同的单调性．

（2）f（x）与af（x），当a>

0时，具有相同的单调性，当a<

0时，具有相反的单调性．

（3）当f（x）恒不等于零时，f（x）与具有相反的单调性．

（4）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，则f（x）＋g（x）是增（减）函数．

（5）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，则f（x）·

g（x）当两者都恒大于零时，是增（减）函数；

当两者都恒小于零时，是减（增）函数．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

泉州模拟）“a＝1”是“函数f（x）＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞）上为增函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．（2009·

天津）已知函数f（x）＝若f（2－a2）>

f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

B．（－1,2）

C．（－2,1）

D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

3．（2009·

宁夏，海南）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为（　　）

A．4B．5C．6D．7

丹东月考）若f（x）＝－x2＋2ax与g（x）＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（－1,0）∪（0,1）B．（－1,0）∪（0,1]

C．（0,1）D．（0,1]

5．（2011·

葫芦岛模拟）已知定义在R上的增函数f（x），满足f（－x）＋f（x）＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>

0，x2＋x3>

0，x3＋x1>

0，则f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（　　）

A．一定大于0B．一定小于0

C．等于0D．正负都有可能

题号

1

2

3

4

5

答案

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．函数y＝－（x－3）|x|的递增区间是________．

7．设f（x）是增函数，则下列结论一定正确的是________（填序号）．

①y＝[f（x）]2是增函数；

②y＝是减函数；

③y＝－f（x）是减函数；

④y＝|f（x）|是增函数．

8．设0<

x<

1，则函数y＝＋的最小值是________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2011·

湖州模拟）已知函数f（x）＝a－.

函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若f（x）<

2x在（1，＋∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

10．（12分）已知f（x）＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

11．（14分）（2011·

鞍山模拟）已知f（x）是定义在[－1,1]上的奇函数，且f

（1）＝1，若a，b∈

[－1,1]，a＋b≠0时，有>

0成立．

（1）判断f（x）在[－1,1]上的单调性，并证明它；

（2）解不等式：

f（x＋）<

f（）；

（3）若f（x）≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案自主梳理

1．

（1）增函数（减函数）　

（2）增函数　减函数　（3）单调区间　（4）递增　递减　（－∞，0），（0，＋∞）　2.最大（小）值

1．B　[由已知得a<

0，b<

0.所以二次函数对称轴为直线x＝－<

0，且图象开口向下．]

2．D　[∵a2＋1>

a，f（x）在R上单调递增，

∴f（a2＋1）>

f（a）．]

3．C　[常数函数不具有单调性．]

4．D　[在本题中，x1，x2不在同一单调区间内，故无法比较f（x1）与f（x2）的大小．]

5．C　[∵f（x）＝3（x－）2－＋c，x∈[0,5]，∴当x＝时，f（x）min＝－＋c；

当x＝5时，f（x）max＝55＋c.]

课堂活动区

例1　解题导引　对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为：

取点，作差或作商，变形，判断）来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．

解　在定义域内任取x1，x2，且使x1<

x2，

则Δx＝x2－x1>

0，

Δy＝f（x2）－f（x1）＝－

＝

＝.

∵a>

0，∴b－a<

0，∴（b－a）（x2－x1）<

又∵x∈（－∞，－b）∪（－b，＋∞），

∴只有当x1<

x2<

－b，或－b<

x1<

x2时，函数才单调．

当x1<

x2时，f（x2）－f（x1）<

0，即Δy<

∴y＝f（x）在（－∞，－b）上是单调减函数，在（－b，＋∞）上也是单调减函数．

变式迁移1　解　在R上任取x1、x2，设x1<

x2，∴f（x2）>

f（x1），F（x2）－F（x1）＝[f（x2）＋]－[f（x1）＋]＝[f（x2）－f（x1）][1－]，

∵f（x）是R上的增函数，且f（5）＝1，

∴当x<

5时，0<

f（x）<

1，而当x>

5时f（x）>

1；

①若x1<

5，则0<

f（x1）<

f（x2）<

1，

∴0<

f（x1）f（x2）<

1，∴1－<

∴F（x2）<

F（x1）；

②若x2>

x1>

5，则f（x2）>

f（x1）>

∴f（x1）·

f（x2）>

1，∴1－>

∴F（x2）>

F（x1）．

综上，F（x）在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数．

例2　解　

（1）当a＝时，f（x）＝x＋＋2，

设x1，x2∈[1，＋∞）且x1<

f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－