导数题型总结解析版文档格式.docx
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上，g（x）0恒成立，则称函数yf（x）在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，
（1）若yf（x）在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;
（2）若对满足m2的任何一个实数m，函数f（x）在区间a,b上都为“凸函数”，求ba的最大
g（x）x2mx3
（1）Qyf（x）在区间0,3上为“凸函数”
则g（x）x2mx30在区间［0,3］上恒成立
解法二：
分离变量法:
变更主元法
2xx230
21x1
2xx30
例2:
设函数f（x）1x2ax3a2xb（0a1,bR）
3
（I）求函数f（x）的单调区间和极值；
（n）若对任意的x[a1,a2],不等式f（x）a恒成立，求a的取值范围
（二次函数区间最值的例子）
22
解:
（I）f（x）x4ax3ax3axa
令f（x）0,得f（x）的单调递增区间为（a,3a）
令f（x）
0,得f（x）的单调递减区间为
玄）和（3a,+）
x=a时，f（x）极小值=—a3
4
b；
当x=3a时,
f（x）极大值=b.
由|f（x）a,得：
对任意的
[a1,a2],
x24ax3a2a恒成立①
则等价于g（x）这个二次函数
gmax（X）agmin（x）a
Q0a1,a1
aa2a（放缩法）
g（x）这个二次函数的最值问题：
单调增函数的最值问题。
即定义域在对称轴的右边,
g（x）x4ax3a在[a1,a2]上是增函数
g（x）maxg（a2）2a1.
g（x）ming（a1）4a4.
于是，对任意x[a
1,a2]，不等式①恒成立，等价于
g（a2）4a4a,解得4a1.
g（a1）2a1a5
又0a1,—a1.
5
点评：
重视二次函数区间最值求法：
对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：
构造函数求最值
题型特征：
f（x）g（x）恒成立h（x）f（x）g（x）0恒成立；
从而转化为第一、二种题型
例3；
已知函数f（x）x3ax2图象上一点P（1b）处的切线斜率为3，
3t62
g（x）xx（t1）x3（t0）
2
（［）求a,b的值；
（n）当x［1,4］时，求f（x）的值域；
（川）当x［1,4］时，不等式f（x）g（x）恒成立，求实数t的取值范围。
f（x）的值域是［4,16］
思路2:
二次函数区间最值
二、参数问题
题型一:
已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：
转化为f'
（x）0或f'
（x）0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:
利用子区间（即子集思想）；
首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间
的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别:
前者是后者的子集
13^a12
例4:
已知aR，函数f（x）xx（4a1）x.
122
（I）如果函数g（x）f（x）是偶函数，求f（x）的极大值和极小值;
列表如下:
x
（-8,-2品）
-243
（-2J3,273）
2yf3
（21/3，+8）
f（x）
+
—
f（x）
递增
极大值
递减
极小值
可知：
f（x）的极大值为
f（23）
43,
f（x）的极小值为f（2.3）43
（n）v函数f（x）是（
7
）上的单调函数，
•-f（x）^x2（a
1）x
（4a
1）0,在给定区间
R上恒成立判别式法
则（a1）2
41
1）a2a0,
解得：
0a2.
综上，a的取值范围是{a0a2}.
1312
例5、已知函数f（x）-x-（2a）x（1a）x（a0）.
32
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若f（x）在［0,1］上单调递增，求a的取值范围。
子集思想
（1）f（x）
x（2a）x1a（x1）（x1
a）.
1、当a
0时,f（x）
（x1）2
0恒成立，
当且仅当
x1时取“
=”号，
f（x）在（,
）单调递增。
2、当a
0时，由f（x）
0,得X1
1,X2a
1,且X1X2,
2、0,1a1,，a10
综上，a的取值范围是［0，1］。
三、题型二：
根的个数问题
题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题
解题步骤
画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后
减再增”还是“先减后增再减”；
由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；
主要看极大值和极小值与0的关系；
解不等式（组）即可；
例6、已知函数f（x）】x3（k^x2，g（x）1kx，且f（x）在区间（2,）上为增函数.
323
（1）求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.
（1）由题意f（x）x2（k1）x•/f（x）在区间（2,）上为增函数，
h（x）
x（k1）xk
（x
k）（x1）
令h（x）
0得xk或x
1由,
（1）知k1,
①当k
1时，h（x）（x
1）2
0,h（x）在R上递增，显然不合题意
②当k1时，h（x）,h（x）随x的变化情况如下表:
（,k）
k
（k,1）
1
（1,）
一
/
k3k21
623
k1
由于0,欲使f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，即方程h（x）0有三个不同的实根，故
-0,即（k1）（k22k2）
k1-
0•••c，解得k1,3
k22k20
综上，所求k的取值范围为k1,3
根的个数知道，部分根可求或已知。
例7、已知函数f（x）ax3—x22xc
（1）若x1是f（x）的极值点且f（x）的图像过原点，求f（x）的极值;
12
（2）若g（x）bxxd，在
（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）的图像与函数f（x）的
图像恒有含x1的三个不同交点？
若存在，求出实数b的取值范围；
否则说明理由。
解：
（1）vf（x）的图像过原点，贝Uf（0）
c
f（x）3axx
2,
3a
20
a1
3x2
2（3x
2）（x1）0
f（
占占2
22
1）
f极小值（x）f（）
（2）设函数g（x）的图像与函数
f（x）的图像恒存在含x
1的三个不同交点,
尹1）
312c1,2
xx2x-bx
即:
x3]（b1）x2x
（计算难点来了：
）h（x）
x（b
-（b1）
31
1）整理得:
0恒有含x1的三个不等实根
1）x2x」（b1）0有含x
1的根,
则h（x）必可分解为（x
1）（二次式）
0,故用添项配凑法因式分解,
x3x2x2!
（b
x^（b1）
十字相乘法分解:
x2（x
2（b
1）x2
x-（b
1（b
2x（b
:
1）x1
1）x2
11
尹1）x尹1）
等价于
12-（b1）x2
21
x-（b1）x
0有两个不等于-1的不等实根。
—（b1）24
1）2尹1）
1（b
扣
b（,1）（1,3）（3,
题2:
切线的条数问题====以切点x0为未知数的方程的根的个数
例7、已知函数
f（x）axbxcx在点X。
处取得极小值—4,
使其导数f'
（x）0
为（1,3），求：
（1）
f（x）的解析式;
（2）若过点P（1,m）可作曲线
yf（x）的三条切线,
的x的取值范围
求实数m的取
值范围.
（1）由题意得:
f'
（x）3ax
2bxc3a（x1）（x3）,（a
•••在（，1）上f'
（x）0；
在（1,3）上f'
在（3,
）上f'
因此f（x）在X01处取得极小值4
•-abc4①，f'
（1）3a2bc0②，f'
（3）27a6bc0③
由①②③联立得:
b6，二f（x）x6x9x
c9
（2）设切点Q（t,f（t））,y
f（t）
f（t）（xt）
（t6t9t）
（
3t2
12t
9）x
t（3t2
9）
t（t2
6t9）
t（2t2
6t）过（
1,m）
m（
9）（
1）2t：
36t
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