导数题型总结解析版文档格式.docx

1、上，g（x） 0恒成立，则称函数y f （x）在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1 ）若y f （x）在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;（2）若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数f （x）在区间a,b上都为“凸函数”，求b a的最大g （x） x2 mx 3（1） Q y f（x）在区间0,3上为“凸函数”则 g（x） x2 mx 3 0在区间0,3上恒成立解法二：分离变量法:变更主元法2x x2 3 02 1 x 12x x 3 0例 2:设函数 f（x） 1 x 2ax 3a2x b（0 a 1,b R）3（I）求函数f （x）的单调区间和极值；（n）若对任意的 x

2、 a 1,a 2,不等式f （x） a恒成立，求a的取值范围（二次函数区间最值的例子）2 2解: （I） f （x） x 4ax 3a x 3a x a令f （x） 0,得f （x）的单调递增区间为（a,3a）令 f （x）0,得f （x）的单调递减区间为,玄）和（3a, + ）x=a 时， f（x） 极小值=a34b；当x=3a时,f（x） 极大值 =b.由| f （x） a,得：对任意的a 1,a 2,x2 4ax 3a2 a恒成立则等价于g（x）这个二次函数gmax（X）a gmin（x） aQ 0 a 1, a 1a a 2a （放缩法）g（x）这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值

3、问题。即定义域在对称轴的右边,g（x） x 4ax 3a在a 1,a 2上是增函数g（x）max g（a 2） 2a 1.g（x）min g（a 1） 4a 4.于是，对任意x a1,a 2，不等式恒成立，等价于g（a 2） 4a 4 a,解得 4 a 1.g（a 1） 2a 1 a 5又 0 a 1, a 1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f（x） g（x）恒成立 h（x） f （x） g（x） 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型例3 ；已知函数f（x） x3 ax2图象上一点P（1b）处的切线斜率为 3，3 t 6

4、2g（x） x x （t 1）x 3 （t 0）2（）求a,b的值；（n）当x 1,4时，求f（x）的值域；（川）当x 1,4时，不等式f（x） g（x）恒成立，求实数t的取值范围。f（x）的值域是4,16思路2 :二次函数区间最值二、参数问题题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f（x） 0或f （x） 0在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2:利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（ a,b）”，要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集1 3

5、a 1 2例 4:已知 a R，函数 f（x） x x （4a 1）x .12 2 （I）如果函数 g（x） f （x）是偶函数，求f （x）的极大值和极小值;列表如下:x（-8,- 2品）-243（-2J3 ,2 73）2yf3（21/3，+ 8）f （x）+f（x）递增极大值递减极小值可知：f （x）的极大值为f （ 2 3）4 3,f（x）的极小值为f（2.3） 4 3（n）v函数f （x）是（7）上的单调函数，- f （x） x2 （a1）x（4 a1） 0 ,在给定区间R上恒成立判别式法则（a 1）2411） a 2a 0,解得：0 a 2.综上，a的取值范围是a0 a 2.1 3

6、1 2例 5、已知函数 f（x） -x -（2 a）x （1 a）x（a 0）.3 2（I）求f（x）的单调区间；（II ）若f （x）在0, 1上单调递增，求a的取值范围。子集思想（1） f （x）x （2 a）x 1 a （x 1）（x 1a）.1、当a0时,f （x）（x 1）20恒成立，当且仅当x 1时取“=”号，f（x） 在 （,）单调递增。2、当a0时，由f （x）0,得 X11,X2 a1,且 X1 X2,2、 0,1 a 1, ， a 1 0综上，a的取值范围是0，1。三、题型二：根的个数问题题1函数f（x）与g（x）（或与x轴）的交点=即方程根的个数问题解题步骤画出两个图像即

7、“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与 0的关系；解不等式（组）即可；例6、已知函数f（x）】x3 （k x2，g（x） 1 kx，且f（x）在区间（2,）上为增函数.3 2 3（1）求实数k的取值范围；（2）若函数f （x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数 k的取值范围. （1）由题意f （x） x2 （k 1）x / f（x）在区间（2,）上为增函数，h（x）x （k 1）x k（xk）（x 1）令 h （x）0得x k或x1由,（1 ）知 k 1

8、,当k1 时，h （x） （x1）20 , h（x）在R上递增，显然不合题意当k 1时，h（x）, h （x）随x的变化情况如下表:（,k）k（k,1）1（1,）一/k3 k2 16 2 3k 1由于 0,欲使f （x）与g（x）的图象有三个不同的交点， 即方程h（x） 0有三个不同的实根， 故-0,即（k 1）（k2 2k 2）k 1 -0 c ，解得 k 1 ,3k2 2k 2 0综上，所求k的取值范围为k 1 ,3根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数f（x） ax3 x2 2x c（1）若x 1是f （x）的极值点且f （x）的图像过原点，求 f （x）的极值;1 2（2）若g

9、（x） bx x d，在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数g（x）的图像与函数f （x）的图像恒有含x 1的三个不同交点？若存在，求出实数 b的取值范围；否则说明理由。解：（1）v f（x）的图像过原点，贝U f （0）cf （x） 3ax x2 ,3a2 0a 13x22 （3x2）（x 1） 0f（占 占2221）f极小值（x） f（）（2）设函数g（x）的图像与函数f （x）的图像恒存在含 x1的三个不同交点,尹1）3 1 2 c 1, 2x x 2x -bx即: x3 （b 1）x2 x（计算难点来了： ）h（x）x （b-（b 1）3 11）整理得:0恒有含x 1的三个不等实

10、根1）x2 x（b 1） 0 有含 x1的根,则h（x）必可分解为（x1）（二次式）0 ,故用添项配凑法因式分解,x3 x2 x2 !（bx （b 1）十字相乘法分解:x2（x2（b1）x2x -（b1 （b2x （b:1） x 11） x21 1尹1）x尹1）等价于1 2 -（b 1）x 22 1x -（b 1）x0有两个不等于-1的不等实根。（b 1）2 41）2 尹 1）1（b扣b （ , 1） （ 1,3） （3,题2 :切线的条数问题=以切点x0为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f （x） ax bx cx在点X。处取得极小值4,使其导数f（x） 0为（1,3），求：（1）f（x

11、）的解析式;（2）若过点P（ 1,m）可作曲线y f（x）的三条切线,的x的取值范围求实数 m的取值范围.（1）由题意得:f （x） 3ax2bx c 3a （x 1）（x 3）,（ a在（，1）上 f（x） 0 ；在（1,3）上 f 在 （3,）上 f 因此f （x）在X0 1处取得极小值 4- a b c 4，f（1） 3a 2b c 0 ，f（3） 27 a 6b c 0 由联立得:b 6 ，二 f（x） x 6x 9xc 9（2）设切点 Q（t, f （t） , yf（t）f （t）（x t）（t 6t 9t）（3t212t9）xt（3t29）t（t26t 9）t（2t26t）过（1,m）m （9）（1） 2t：3 6t