一阶微分方程的解的存在定理Word格式.docx
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教学手段
传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入
在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。
解决了几个特殊的方程。
但是,对许多微分方程,为,不可能通过初等积分法求解,这就产生了一个问题,一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢?
或者说,一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢?
当有解时,农的解是否是唯一的呢?
毫无疑问,这是一个很基本的问题,不解决这个问题对微分方程的进一步研究,就无从谈起,本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理,
§
3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
讨论Picard逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理,解的延拓定理,解对初值的连续性与可微性定理。
熟练掌握Picard逼近法,并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明,会用Picard逼近法求近似解,
Picard存在唯一性定理及其证明
逐次逼近分析法的应用及其思想.
一.存在唯一性定理
1.定理1,考虑初值问题
(3.1)
其中f(x,y)在矩形区域
R:
(3.2)
上连续,并且对y满足Lipsthits条件:
即存在常数L>
0,使对所有常存成立,
则初值问题(cauchy问题)(3.1)在区间上解存在唯一,这里
证明思路:
1.初值问题(3.1)的解存在等价一动积分方程(3.5)的连续解。
2.构造(3.5)所得解函数序列{}
任取一连续函数,代入(3.5)左端的y,得
3.函数序列{}在上一致收敛到。
这里为3
=
即则需由则需由于从而{}在上的一收敛性等价于函数项级数
在一收敛性。
4.为(3.5)的连续解且唯一。
首先在区间是讨论,在上类似。
命题3.1初值问题(3.1)等价于积分方程
(3,5)
Proof:
若为(3.1)的解,则:
对第一式从到x取定积分可得
即
反之,若为(3.5)的连续解。
,则有
由于对f(x,y)在R上连续,从而连续故对上两式两边求导得
且即为(3.1)的连续解。
下面取,构造picard逐步逼近函数如下:
(3.7)
命题2,对于所有;
连续且满足
Proof(用数学归纳法证明)
N=1时,虽然在上连续且
设命题2为时成立即在上连续,且
当时
由在R上连续可知,在上连续从而在上连续且
而命题2,在时成立,故由数学归纳法得知,命题跋对所有n成立
命题3。
函数序列在上一致收敛
考虑函数级数:
(3.9)
它前几项和为
于是{}一致收敛性等于(级数3.9)的一致收敛性等价,我们对级数(3.9)的通项进行诂计
其中第二个方程不等式是由Lipsthits条件得到的,高对正整数n有不等式
则当时,由Lipsthits条件有
于是,由数学归纳法得知,对所有的正整数n有
(3.11)
从而当时
由于正级数收敛,由weierstrass判别法知,级数(3.9)在一致收敛,因而{}在上一致收敛。
现设,则由连续性和一致收敛性得在上连续且
命题4.是积分方程(3.5)的定义于上的连续解.
由Lipschits条件
以及{}在上的一致收敛,解出函数列{},在上的一致收敛于函数.因而对(3.7)两边取极限.得到
这表明.是积分方程(3.5)在的连续解.命题目四得证.
命题5.设,是积分方程(3.5)的定义于上的一个连续解.则,
Prof:
令则是定义在的的非负连续函数.由和所满足的积分方程式和的Lipschits条件得
令则是定义在上的连续中微函且
于是
对最后一个不等式从到x积分得
故,即
综合命题1-5得到存在任一性定理的证明,
2存在任一性定理的证明
(1)定理中的Lipschits条件比较困难,我们经常用R上连续偏导数这一较但容易验证的条件来代替,如果在R上连续,则在R上有界,令||在R上成立,则由微分中值定理可以得出
但反过来,满足Lipschits条件的函数f(x,y)不一定有偏导数存在,例如函数在任何区域满足Lipschits条件,但它在y=0处偏导数不存在.
(2)定理中的几何意义,在矩形R中有故初值问题(3.1)的解曲线的斜率定于-M与M之间,过点分别作斜率为—M到M的直线,当时如图(a)所示,解在中有定义,而当时劝图(b)所示。
不能保证解在中有定义。
它有可能在区间内跑到矩形R外去,使得无定义,只有时才能保证解在R内,故需求解在存在范围为
图(a)图(b)
则当上连续时,定理1的条件才能满足且任一初值所确定的解在存在定义,连续
定理2考虑一阶微分方程
(3.5)
如果在点的某一个域中满足
1对所以变化()连续。
且存在连续偏导数
2)=0
3
则方程(3.5)存在唯一解
满足条件
分析:
由1,2,3及验证函数存在定理,=0能确定一阶函数且在内连续。
且满足因从而连续,解唯一。
二定似计算和误差估计
存在唯一性定理不公肯定了解的存在唯恐天下不乱一性,并且给出了求方程近似解的一种方法——Picrcl逐步逼近法,对方程的第n次近似解
它和正真解内的误差估计为
(3.19)
上式可用数学归纳法证明
这样,我们在进行近似计算的时候,可以根根据误差的要求,先取适当的逐步逼近函数。
例1.
讨论初值问题
解存在唯一区间。
并求在此区间上与真正解的误工费差不超过0.05
的近似解的表达式,其中R:
解:
这里在R上,由于
由(3.19)=<
0.05
因而可取n=3,因此我们可以作出如下的近似表达式
就是所求的近似解,在区间[]上与真正解的误差不超过0.05.
例2讨论初值问题
解存在且唯一区间.
解:
对任意给定的正数a,b,函数均在矩形区域R=内连续且对y有连续的偏导数,计算
由于a和b都可以任意取,我们先取b,使最大,虽然b=1时为的最大值,故可取a=1,b=1,此时依定理得到初值问题解存在唯一的区间是.
例3.
利用选代法求初值问题,
的解.
解;
初值问题等价于积分方程
其选代序列分别为
取极限得
即初值问题的解为