人教A版第六章平面向量及其应用综合测试题Word文件下载.docx

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A．

（1）

（2）B．

（2）（3）C．（3）（4）D．

（2）（3）（4）

11．在平面直角坐标系中，已知圆及圆内的一点，圆的过点的直径为，若线段是圆的所有过点的弦中最短的弦，则的值为（）

A．8B．16C．4D．

12．点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（）

A．重心，外心，内心B．重心，外心，垂心

C．外心，重心，内心D．外心，重心，垂心

二、填空题

13．已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为_______.

14．已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_________.

15．在中，，则.=_______

16．是等腰直角三角形，，，点D满足，点E是BD所在直线上一点.如果，则的最小值__________.

三、解答题

17．在平面直角坐标系中，已知向量.

（1）若，求的值；

（2）若在上的投影向量长度为，求的值.

18．已知，，

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值；

（3）若与夹角为锐角，求实数的取值范围.

19．已知平面内两个不共线的向量，.

（1）求；

（2）求与的夹角.

20．已知向量，，满足：

，，，且.

（1）求向量与的夹角；

（2）求.

21．如图，在四边形ABCD中，，，，且，.

（1）求实数的值；

（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.

22．在的边，上分别有一点，，已知，，连接，，设它们交于点，若，.

（1）用与表示；

（2）过作，垂足为，若，，与的夹角，求的范围.

参考答案

1．A

【分析】

利用向量数量积的定义即可求解.

【详解】

由，则，，

又向量与的夹角为，

所以.

故选：

A

【点睛】

本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

2．A

根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.

解：

向量，；

若，则，

即，

解得.

A.

此题考查由向量垂直求参数，属于基础题

3．C

根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.

向量，且，，解得.

C.

本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.

4．C

设，，则，由图可知：

，的夹角为，

因为，，，所以，即可得解.

如图：

设，，则，

则，的夹角为，

因为，，，所以，

所以，的夹角为120°

．

本题考查了向量的夹角，考查了利用几何图形解决向量问题，属于基础题.

5．C

根据数量积定义，可知，再根据，即可求出结果.

∵，，且向量，的夹角为，

∴，

∴.

本题主要考查了平面向量的数量积的应用，属于基础题.

6．A

根据向量垂直的坐标运算解得，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.

因为向量，若，则，解得，

所以，所以，，，

设向量+2与之间的夹角，则，，

所以向量+2与之间的夹角为.

7．A

由向量的数量积为0求出的关系式，然后把向量的模用坐标表示后，结合基本不等式可得最小值．

∵，∴，∴.

∴，当且仅当或时等号成立，

A．

8．C

由可得，即得，即可解出.

由，得，

，，

，解得.

9．C

由向量数量积的定义：

，再由向量夹角的取值范围求解．

设与的夹角，，

，

10．B

根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.

已知非零平面向量，，，

（1）若，则，所以或，即

（1）错；

（2）若，则与同向，所以，即

（2）正确；

（3）若，则，所以，则；

即（3）正确；

（4）若，则，所以，不能得出向量共线，故（4）错；

B.

本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.

11．B

利用勾股定理计算出，用，表示出，再计算数量积得解．

由题意可知，圆的半径为，，

B．

关键点点睛：

解答本题的关键是基底法的运用，联想到基底法表示其它向量，用，表示出.

12．B

由三角形五心的性质即可判断出答案．

设的中点，则，

，，三点共线，即为的中线上的点，且．

为的重心．

为的外心；

即，，

同理可得：

为的垂心；

本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．

13．

将等式两边平方，利用向量的数量积即可求解.

将两边同时平方，

可得，

因为和是单位向量，

可得.

故答案为：

14．2

由于，对式子两边与作数量积可得，经过化简即可得出．

，，，

，，解得．

2．

15．

根据向量的线性运算，得到，，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.

设向量，其中，

因为，所以，

平面向量的数量积的运算策略：

1、定义法：

建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求解；

2，坐标运算法：

先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用．

16．

直接利用平面向量线性运算即可得到且，结合B，D，E三点共线，即得到，再利用基本不等式计算可得.

由知，D在边CA的延长线上，且A为CD的中点，

因为点E是BD所在直线上一点，

且，

∴，

当且仅当时“”成立，

.

本题考查平行向量的线性运算，考查了利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；

要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

17．

（1）；

（2）.

（1）根据，由求解..

（2）根据在上的投影向量长度为，由求解.

（1）因为，

所以，

故，

（2）因为在上的投影向量长度为，

所以或或或，

解得或或或，

因为，

18．

（1）；

（2）；

（3）且.

（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；

（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；

（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.

因为，，

（1）若，则，解得；

（2）若，则，解得；

（3）若与夹角为锐角，则，且与不同向共线，即，所以实数的取值范围为且.

19．

（1）；

（2）或.

（1）根据条件对的两边平方即可得出关于的方程，然后根据题意知，从而解出；

（2）进行数量积的运算可求出和的值，然后即可求出的值，从而可求出和的夹角.

（1），，，

，且，解得；

（2），，

，且，

20．

（1）；

（1）根据，，，且，由求解.

（2）由求解.

（1）因为，，，且，

（2），

21．

（1）；

（1）根据和向量的数量积定义式计算；

（2）建立平面坐标系，设，用x表示出，根据二次函数性质得出最小值.

（1）∵，∴，

∵，∴，

（2）过A作，垂足为O，

则，，，

以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：

则，设，，，

∴，，

∴当时，取得最小值.

本题考查了平面向量的数量积计算，解答的关键是理解数量积的定义以及数量积的坐标表示.

22．

（1）；

（1）利用三点共线和三点共线，结合平面向量共线定理，可构造方程组求得结果；

（2）设，利用，结合平面向量线性运算将两个向量转化为用表示的向量，利用平面向量数量积的运算律可整理得到关于的函数形式，利用的范围即可求得结果.

（1）设，

三点共线，，

又，，；

设，同理可得：

不共线，，，解得：

即.

（2）设，则，

又，

整理可得：

即的取值范围为.

思路点睛：

本题考查了平面向量线性运算和数量积运算的综合应用，处理数量积运算问题时，通常利用线性运算将所求向量进行等价转化，利用模长和夹角已知的两个向量来表示所求向量，如本题中利用表示出，再结合数量积的运算律来进行求解.