届一轮复习苏教版逆矩阵的概念学案Word下载.docx

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A－1＝

.

[思考·

探究]

1.2.2节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？

哪几个不存在？

为什么？

【提示】　恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换不存在；

因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射.

2.是否每个二阶矩阵都可逆？

【提示】　不是，只有当

中ad－bc≠0时，才可逆，如当A＝

，因为1×

0－0×

0＝0，

找不到二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E成立，

故A＝

不可逆.

3.若二阶矩阵A，B，C都是可逆矩阵，如何求（ACB）－1?

【提示】　根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得：

（ACB）－1＝

＝B－1（AC）－1＝B－1C－1A－1.

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

疑问3：

利用几何变换的观点研究矩阵的逆矩阵

　从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；

若不存在，请说明理由.

（1）A＝

；

（2）B＝

（3）C＝

（4）D＝

.

【导学号：

30650035】

【精彩点拨】　

→

【自主解答】　

（1）矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向压缩为原来的

，因此，它存在逆变换：

将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标沿y轴方向伸长为原来的2倍，所对应的变换矩阵记为

（2）矩阵B对应的是切变变换，它将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例减少，且（x，y）→（x－2y，y）.它存在逆变换：

将平面内点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且（x，y）→（x＋2y，y），所对应的变换矩阵记为

B－1＝

（3）矩阵C对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线y＝x上，它不是一一映射，在这个变换下，直线y＝x上的点有无穷多个原象，而平面上除直线y＝x外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵C不存在逆矩阵.

（4）矩阵D对应的是绕原点逆时针方向旋转90°

的旋转变换，因此它存在逆变换：

绕原点顺时针旋转90°

的旋转变换，所对应的变换矩阵记为

D－1＝

用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：

（1）弄清矩阵所对应的几何变换；

（2）根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换；

（3）若有逆变换，找到逆变换；

（4）将逆变换写成逆矩阵.

若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？

（3）C＝

【解】　

（1）A＝

，它表示的变换为将平面内的点绕原点逆时针旋转30°

的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转30°

的旋转变换，故A－1＝

（2）矩阵B表示的是将平面内所有点垂直投影到x轴上的投影变换，它不是一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵.

（3）矩阵C表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加，且

的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变，横坐标依纵坐标比例减少，且

的切变变换，故C－1＝

（4）矩阵D表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向拉伸为原来2倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于x轴方向压缩为原来的

的伸压变换，故D－1＝

求矩阵A的逆矩阵

　求矩阵A＝

的逆矩阵.

【精彩点拨】　思路一：

设出A－1，利用AA－1＝E，构建方程组求解.

思路二：

利用公式A－1＝

求解.

【自主解答】　法一　设矩阵A的逆矩阵A－1＝

，

则

＝

即

所以

解得

故所求的逆矩阵A－1＝

法二　注意到2×

6－3×

5＝－3≠0，故A存在逆矩阵A－1，且A－1＝

求一个矩阵A的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法.

法一：

待定矩阵法：

先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB＝BA＝E，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法.

法二：

利用逆矩阵公式，对矩阵A＝

：

①若ad－bc＝0，则A的逆矩阵不存在.

②若ad－bc≠0，则A－1＝

判断下列矩阵是否可逆，并当它可逆时求出逆矩阵.

（1）

（2）

【解】　

（1）行列式Δ＝1×

1－（－1）×

1＝2，矩阵可逆，逆矩阵为

（2）行列式Δ＝ab，当且仅当a，b都不为0时可逆，逆矩阵为

求矩阵AB的逆矩阵

　已知A＝

，B＝

，求矩阵AB的逆矩阵.

30650036】

【精彩点拨】　法一：

A，B→A－1，B－1→

＝B－1A－1

A，B→

【自主解答】　法一　因为A＝

，且1×

－0＝

≠0，

∴A－1＝

，同理B－1＝

因此（AB）－1＝B－1A－1＝

法二　因为A＝

∴AB＝

.＝

且1×

－0×

1＝

∴（AB）－1＝

已知矩阵A，B，求矩阵AB的逆矩阵的一般思路：

先求A－1，B－1，再求（AB）－1＝B－1A－1或先求AB，再求（AB）－1.

已知关于直线y＝2x的反射变换对应的矩阵为A＝

，切变变换对应的矩阵为B＝

，试求出（AB）－1.

【解】　反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且A－1＝

（AB）－1＝B－1A－1＝

[真题链接赏析]

　（教材第65页习题2.4第5题）已知A＝

，试求A－1.

　已知矩阵A＝

求A的逆矩阵A－1.

【命题意图】　通过矩阵转换求逆矩阵.

【解】　因为|A|＝2×

3－1×

4＝2，

所以A－1＝

1.对任意的二阶非零矩阵A，B，C，考察下列说法：

①（AB）－1＝B－1A－1；

②A（BC）＝（AB）C；

③若AB＝AC，则B＝C.

其中正确的是________.

【解析】　①中只有当A，B都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立，故①不正确.

②为矩阵乘法的结合律故正确.

③中只有当A存在逆矩阵方可，故③不正确.

【答案】　②

2.矩阵

可逆的条件是________.

【解析】　当1×

d－0×

b＝d≠0时可逆.

【答案】　d≠0

3.已知A＝

（k≠0），则A－1等于________.

30650037】

【解析】　设A－1＝

则AA－1＝

∴

【答案】　

4.已知A＝

，A－1＝

，则x＋y＝________.

【解析】　∵AA－1＝

＝E＝

∴x＋y＝0.

【答案】　0

我还有这些不足：

（1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

我的课下提升方案：