完整版数字信号处理原理实现及应用高西全第3版第1章时域离散信号和系统.docx

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第1章时域离散信号和系统

1.1引言

本章内容是全书的基础。

学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念，数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。

模拟系统用许多模拟器件完成，数字系统用运算方法完成。

如果对本章中关于数字信号与系统的若干基本概念不清楚，那么在学习数字滤波器时，会感到不好掌握，因此学好本章是很重要的。

1.2本章学习要点

（1）关于信号

l模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别。

l如何由模拟信号产生时域离散信号。

l常用的时域离散信号。

l如何判断信号是周期性的，其周期如何计算。

（2）关于系统

l什么是系统的线性、时不变性，以及因果性、稳定性；如何判断。

l线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法、列表法、解析法，以及用MATLAB工具箱函数求解。

l线性常系数差分方程的递推解法。

l用MATLAB求解差分方程。

l什么是滑动平均滤波器，它的单位脉冲响应是什么。

1.3习题与上机题解答

1.1用单位脉冲序列及其加权和表示图P1.1所示的序列。

解：

1.2给定信号

（1）画出x（n）的波形，标上各序列值；

（2）试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x（n）序列；

（3）令，画出的波形；

（4）令，画出的波形。

解：

（1）画出x（n）的波形，如图S1.2.1所示。

图P1.1图S1.2.1

（2）。

（3）画出的波形，如图S1.2.2所示。

（4）画出的波形，如图S1.2.3所示。

1.3判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。

图S1.2.2图S1.2.3

（a）（b）（c）

（d）（e）（f）

解：

（a）是非周期信号。

（b）是周期信号，，取M=97，周期为20。

（c）是周期信号，，取M=4，周期为5。

（d）是周期信号，，周期为14。

（e）是周期信号，周期为14。

（f）是非周期信号。

总结以上，如果数字频率不是的函数，则一定是非周期序列。

1.4对图P1.1给出的x（n），要求：

（1）画出x（-n）的波形；

（2）计算，并画出的波形；

（3）计算，并画出的波形；

（4）令，将和x（n）进行比较，你能得出什么结论？

解：

（1）画出x（-n）的波形如图S1.4.1所示。

（2）将图P1.1所示波形和图S1.4.1所示波形相加再除以2，得到的波形，如图S1.4.2所示。

图S1.4.1图S1.4.2

（3）将图P1.1所示波形和图S1.4.1所示波形相减，再除以2，得到的波形，如图S1.4.3所示。

图S1.4.3

（4）令，画出波形，得到。

另外，由波形得到是x（n）的偶对称序列，是x（n）的奇对称序列。

这是一个具体例子，但可以推广到一般情况，结论是对于一般实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列，即，式中，。

1.5以下序列是系统的单位脉冲响应h（n），试说明系统是否是因果的和稳定的。

（1）

（2）（3）（4）

（5）（6）（7）

解：

（1），系统是因果、不稳定。

（2），系统是因果、稳定的。

（3），系统是因果的，但不稳定。

（4），系统是非因果、稳定的。

（5），系统是因果、稳定的。

（6），系统是非因果的，不稳定。

1.6假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系统。

（1）

（2）

（3）（4）

解：

（1）

将上式中的n用代替，得到。

令，因此，系统是时不变系统。

令系统的输入信号为两个信号的线性组合，则输出为

，

因为，因此该系统不服从线性叠加原理，是非线性系统。

（2）

分析方法同上，该系统是时不变非线性系统。

（3）

由上式有

因此，该系统是时不变系统。

令系统的输入信号为两个信号的线性组合，则输出为

因为，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。

（4）

由上式得到

这样，该系统不是时不变系统。

按照差分方程，可把系统看成是一个放大器，放大器的放大量是n，因为该放大量随n改变，从物理概念上讲，该系统也是一个时变系统。

令系统的输入信号为两个信号的线性组合，则输出为

，

因为，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。

1.7按照图P1.7完成下面各题。

图P1.7

（1）根据串并联系统的原理直接写出总的系统单位脉冲响应h（n）；

（2）设，，

，

试求总的系统单位脉冲响应h（n），并推出y（n）和输入x（n）之间的关系。

解：

（1）。

（2）在下面的推导中，用一些常用的公式，会使推导简便，它们是

，；，

在

（1）式中，

或者

1.8由三个因果线性时不变系统串联而成的系统如图P1.8（a）所示，已知分系统

整个系统的单位脉冲响应如图P1.8（b）所示。

（1）求分系统单位脉冲响应；

（2）如果输入，求该系统的输出y（n）。

图P1.8

解：

（1）按照图P1.8（a）写出系统的单位脉冲响应如下：

式中，。

已知h（n），求。

上式是一个递推公式，用递推法求解。

求解时注意系统是一个因果系统。

；；

；；

；；

；。

最后得到

当n=0,1,2,3,4,5,6,7,…时，

（2）

将已求出的代入上式，得到

当n=0,1,2,3,4,5,6,7,…时,。

1.9计算并画出图P1.9所示信号的卷积。

图P1.9

（a），原点在6处，波形如图S1.9.1（a）所示。

（b），原点在18处，波形如图S1.9.1（b）所示。

（c），原点在第一个2处，波形如图S1.9.1（c）所示。

（d），原点在第一个1处，波形如图S1.9.1（d）所示。

图S1.9.1

1.10证明线性卷积服从交换率、结合率和分配率，即证明如下等式成立：

（1）

（2）

（3）

解：

证明如下：

（1）因为

令

（2）利用上面已证明的结果，得到

交换求和号的次序，得到

（3）

1.11已知系统的输入x（n）和单位脉冲响应h（n），试求系统的输出y（n）。

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

（6）

解：

（1），原点在第一个1处。

（2），原点在第一个2处。

（3）。

（4）该题解的方法和主教材中的例题1.3.3相同，

；，，n＜0，y（n）=0

，非零值范围为，因此

，非零区间为，因此

结果为

（5）。

为了计算方便，将上式写成

采用列表法，计算过程如表S1.11.1所示。

表S1.11.1

m

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

3x（m）

0

1

2

3

4

5

6

h（m）

1

1

1

1

1

h（-m）

1

1

1

1

1

3y（0）=3

h（1-m）

1

1

1

1

1

3y

（1）=6

h（2-m）

1

1

1

1

1

3y

（2）=10

h（3-m）

1

1

1

1

1

3y（3）=15

h（4-m）

1

1

1

1

1

3y（4）=21

……

……

……

h（-1-m）

1

1

1

1

1

3y（-1）=1

h（-2-m）

1

1

1

1

1

3y（-2）=0

，原点在3处。

（6）

，

由得到。

由得到。

；

，；

，；

，；

最后得到

1.12如果线性时不变系统的输入和输出分别为

（1）

（2）

试求出相应的系统单位脉冲响应。

解：

这是一个简单的解线性卷积的题目，可用递推法求解。

（1）

；；

；

得到

（2）

1.13已知因果系统的差分方程为

求系统的单位脉冲响应h（n）。

解：

用递推法求解，令，y（-1）=0，y（n）=h（n），

；

；

；

归纳起来，结果为。

1.14设系统的差分方程为，y（-1）=0。

分析系统是否是线性、时不变系统。

解：

分析的方法是让系统输入分别为，，时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。

（1），系统的输出用表示：

该情况在主教材例题1.5.21.4.1中已求出，系统的输出为。

（2），系统的输出用表示：

最后得到。

（3），系统的输出用表示：

最后得到。

由

（1）和

（2）得到

因此，可断言这是一个时不变系统。

情况（3）的输入信号是情况

（1）和情况

（2）的输入信号的相加信号，因此。

观察，得到，因此该系统是线性系统。

最后得到结论：

用差分方程描述的系统，当初始条件为零时，是一个线性时不变系统。

1.15习题1.6和习题1.14都是由差分方程分析系统的线性时不变性质，为什么习题1.6没给初始条件，而习题1.14给了初始条件？

解：

系统用差分方程描述时，分析其线性时不变性质，需要给定输入信号求输出，因此需要已知差分方程的初始条件，是几阶差分方程就需要几个初始条件，习题1.6的差分方程是零阶的，因此不需要初始条件，而习题1.14是一阶的，因此需要一个初始条件。

1.16设系统的单位脉冲响应为，系统的输入x（n）是一些观察数据，设

，试用递推法求系统的输出y（n）。

递推时设系统的初始状态为零。

解：

最后得到。

1.17如果线性时不变系统的单位脉冲响应为

求系统的单位阶跃响应。

解：

单位阶跃响应是系统输入单位阶跃序列时系统的零状态响应，因此该题即是求系统对单位阶跃序列的响应。

系统的单位阶跃响应用y（n）表示，即

非零值区间为，，

最后得到。

1.18已知系统的单位脉冲响应h（n）和输入信号x（n）分别为

求系统的响应。

解：

利用习题1.17的结果，得到

1.19已知系统用下面的差分方程描述：

（1）求系统的单位脉冲响应；

（2）求系统的单位阶跃响应。

解：

（1）令

n=0，

n=1，

n=2，

n=3，

n=4，

或者

（2）该题可以直接由差分方程求单位阶跃序列的响应，因为上题已求出系统的单位脉冲响应，因此可以直接用线性卷积求解。

令，系统的单位阶跃响应用表示，则

利用习题1.17的结果得到

从而有

1.20*已知两个系统的差分方程分别为

（1）

（2）

分别求两个系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应（只求前30