平面直角坐标系知识点汇总Word文件下载.docx
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(8,3)表示什么含义?
二.平面直角坐标系
相关概念
具体内容
定义
在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴,这样就建立了平面直角坐标系
两轴
水平的数轴叫做轴或横轴,取向右为正方向;
垂直的数轴叫做轴或纵轴,取向上为正方向
原点
两轴的交点为平面直角坐标系的原点
坐标平面
坐标系所在的平面叫做坐标平面
3.象限
轴和轴把坐标平面分成四个部分,称为四个象限,按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限,如图。
第四象限
第三象限
第一象限
第二象限
如果所表示的平面直角坐标系具有实际意义,一般在表示横轴、纵轴的字母后附上单位。
例2:
设为平面直角坐标系中的点。
(1)当时,点位于第几象限?
(2)当时,点位于第几象限?
4.点的坐标
对于坐标平面内的任意一点,过点分别向轴、轴作垂线,垂足在轴、轴上对应的数、分别叫做点的横坐标和纵坐标,有序数对叫做点的坐标,记作,如图。
1.已知坐标平面内的点,确定点的坐标
先由已知点分别向轴、轴作垂线,设垂足分别为、,再求出垂足在轴上的坐标与垂足在轴上的坐标,最后按顺序写成即可。
2.已知点的坐标确定点的位置
若点的坐标是,先在轴上找到坐标为的点,在轴上找到坐标为的点;
再分别过点、点作轴、轴的垂线,两垂线的交点就是所要确定的点。
例3:
如图所示,在平面直角坐标系内有两点、。
(1)分别写出它们的坐标;
(2)在平面内找出一点,使它的坐标为。
掌握方法
1.有序数对的应用方法
表示物体的位置需要用两个数,这两个数顺序不同,表示的位置也不同。
用有序数对表示位置时,必须明确前后两个数表示的实际意义。
如图是中国象棋一次对局时的部分示意图,若“帅”所在的位置用有序数对(5,1)表示,请你用有序数对表示其他棋子的位置。
2.坐标平面中点的位置的确定
北
确定点在坐标平面中的位置,关键是根据不同象限中点的坐标特征去判断横坐标、纵坐标是大于0,等于0,还是小于0,就可以确定点在坐标平面中的位置。
东
西
如图小明从点出发,先向西走40米,再向南走30米到达点,如果点的位置用表示,那么表示的是()
A.点AB.点B
C.点CD.点D
南
三.用坐标表示地理位置的方法
用坐标表示地理位置时,一是要选择适当的位置为坐标原点,要以能简洁地确定平面内的点的坐标为原则;
二是坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向,这样可以使东南西北方向与地理位置方向一致;
三是要注意标明比例尺和坐标轴上的单位长度。
根据以下条件画一幅示意图,指出学校和小刚家、小强家、小敏家的位置。
小刚家:
出校门向东走1500米,再向北走2000米。
小强家:
出校门向西走2000米,再向北走3500米,最后再向东走500米。
小敏家:
出校门向南走1000米,再向东走3000米,最后向南走750米。
点的坐标的有关性质
1.各象限内点的坐标的符号特征
1.点在第一象限
2.点在第二象限
3.点在第三象限
4.点在第一象限
温馨提示
四个象限之间均没有公共点。
若点在第三象限,则点在()
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
2.坐标轴上点的坐标特征
坐标轴上点的坐标特征:
1.点在轴上
2.点在轴上
3.点是坐标原点
①原点既是轴上的点,又是轴上的点。
②点的横坐标或纵坐标为0,说明点在轴或轴上。
指出下列各点所在象限或所在坐标轴:
,,,,,。
三.象限角的平分线上的点的坐标特征
1.第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等。
2.第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。
已知点,当为何值时:
(1)点在第二、四象限的角平分线上?
(2)点在第一、三象限的角平分线上?
4.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.平行于轴的直线上的点的纵坐标都相等。
2.平行于轴的直线上的点的横坐标都相等。
①若∥轴,则,的纵坐标相等,即;
若,,且,,则∥轴。
②若∥轴,则,的横坐标相等,即;
例4:
已知平面直角坐标系内两点,。
(1)若直线∥轴,则,;
(2)若直线∥轴,则,。
5.点到坐标轴的距离
点的坐标为,那么点到轴的距离为这点纵坐标的绝对值,即。
点到轴的距离为这点横坐标的绝对值,即。
①已知点的坐标可以求出点到轴、轴的距离,应注意取相应坐标的绝对值。
②由点到轴、轴的距离可以求出点的坐标,但要注意讨论。
③点到原点的距离为。
例5:
已知点到轴的距离是2,到轴的距离是1,求点的坐标。
6.平面直角坐标系内的图形变换
1.用坐标表示对称
(1)点与点关于轴(横轴)对称,则横坐标相同,纵坐标互为相反数;
(2)点与点关于轴(纵轴)对称,则纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3)点与点关于原点对称,则横、纵坐标分别互为相反数。
简单记为“关于谁谁不变,关于原点都改变”。
①点关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为;
关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为。
②在平面直角坐标系中,作已知图形关于轴或轴对称的图像,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形。
例6:
已知在平面直角坐标系中,、。
(1)当、为何值时,、关于轴对称?
(2)当、为何值时,、关于轴对称?
(3)当、为何值时,、关于原点对称?
2.用坐标表示平移
(1)当图形中所有的点的横坐标都加上或者减去同一个正数,纵坐标不变时,图形会水平向右或向左平移个单位;
在平面直角坐标系中,将点向右(或左)平移
个单位长度,可以得到对应点(或);
(2)当图形中所有的点的纵坐标都加上或者减去同一个正数,横坐标不变时,图形会向上或向下平移个单位;
在平面直角坐标系中,将点向上(或向下)平移个单位长度,可以得到对应点(或)。
图形的平移是指坐标系中,在保持坐标轴不动的情况下,图形的整体移动。
在平移变换下,图形的形状及大小不变,变的仅仅是图形的位置。
例7:
如图,已知,,把线段平移,使点移动到点处,这时点移动到点处。
(1)画出平移后的线段,并写出点的坐标;
(2)如果平移时只能左右或者上下移动,叙述线段是怎样移到的。
1.利用点坐标的符号特征解题的方法
各象限的坐标符号:
第一象限内点的横、纵坐标皆为正数,即;
第二象限内点的横坐标为负数,纵坐标为正数,即;
第三象限内点的横、纵坐标皆为负数,即;
第四象限内点的横坐标为正数,纵坐标为负数,即。
在平面直角坐标系中,若点在第二象限,则的取值范围为()
A.B.
C.D.
2.点到坐标轴的距离的应用方法
点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两方面:
①到轴的距离与纵坐标有关,到轴的距离与横坐标有关。
②距离都是非负数,而坐标可以是负数。
已知点和到轴的距离相等,且∥轴,则的值为()
A.0B.-1C.1D.2
3.利用图形的平移确定变化的坐标的方法
将一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数,再把纵坐标都加上(或减去)一个正数,相应的新图形就是把原图形先向右(或向左)平移个单位,再向上(或向下)平移个单位。
如图,的坐标分别为,,若将线段平移至,则的值为()
A.2B.3
C.4D.5
四.利用图形的对称确定变化的坐标的方法
作图形的对称变换时,首先要找出关键点的对称点。
关于轴对称时,点的横坐标不变,纵坐标互为相反数;
关于轴对称时,点的纵坐标不变,横坐标互为相反数;
关于原点对称时,横、纵坐标都互为相反数。
如果矩形的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合,且点和点的坐标分别为和,则矩形的面积为。