平面向量的基本定理及坐标表示教案Word格式.docx

平面向量的基本定理及坐标表示教案Word格式.docx

《平面向量的基本定理及坐标表示教案Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的基本定理及坐标表示教案Word格式.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.

教学重点、难点

教学重点：

平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示．

教学难点：

平面向量基本定理的理解与应用．

教学关键：

平面向量基本定理的理解.

教学突破方法：

通过问题设置，让学生充分练习，发现规律方法，体现学生的主体地位．

教法与学法导航

教学方法：

启发诱导.

学习方法：

在老师问题的引导下，学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律．

教学准备.

教师准备：

多媒体、尺规.

学生准备：

练习本、尺规.

教学过程

一、创设情境，导入新课

在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？

二、主题探究，合作交流

提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2，请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2．平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?

②如上左图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系．

师生互动：

如上右图，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a．过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；

过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N．由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得=λ1e1，=λ2e2．由于，所以a=λ1e1+λ2e2．也就是说，任一向量a都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式．

由上述过程可以发现，平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化，这为我们研究问题带来极大的方便．

由此可得：

平面向量基本定理：

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．

定理说明：

（1）我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

（2）基底不唯一，关键是不共线;

（3）由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

（4）基底给定时，分解形式唯一．

提出问题:

①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？

若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？

②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？

引导学生结合向量的定义和性质，思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律．教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励．然后教师给出总结性的结论：

不共线向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：

已知两个非零向量a和b（如图），作=a，=b，则∠AOB=θ（0°

≤θ≤180°

）叫做向量a与b的夹角．显然，当θ=0°

时，a与b同向;

当θ=180°

时，a与b反向．因此，两非零向量的夹角在区间[0°

，180°

]内．

如果a与b的夹角是90°

，我们说a与b垂直，记作a⊥b．

由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2，使a=λ1a1+λ2a2．

在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如上，重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形．

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便．

①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢?

②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的？

如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得

a=xi+yj①

这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作

a=（x，y）②

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．显然，i=（1，0），j=（0，1），0=（0，0）．教师应引导学生特别注意以下几点：

（1）向量a与有序实数对（x，y）一一对应．

（2）向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，是表示a的有向线段，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则向量a的坐标为x=x2-x1，y=y2-y1，即a的坐标为（x2-x1，y2-y1）．

（3）为简化处理问题的过程，把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了，即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：

三、拓展创新，应用提高

例1已知向量e1、e2（如右图），求作向量

-2.5e1+3e2．

作法：

（1）如图，任取一点O，作=-2．5e1，=3e2．

（2）作OACB．

故就是求作的向量．

例2如下图，分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d，并求出它们的坐标．

活动：

本例要求用基底i、j表示a、b、c、d，其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合．一种方法是把a正交分解，看a在x轴、y轴上的分向量的大小．把向量a用i、j表示出来，进而得到向量a的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量a终点的坐标就是向量a的坐标．同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外，本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：

a与b关于y轴对称，a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等．由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标．

解：

由图可知，a=+=2i+3j，

∴a=（2，3）．

同理，b=-2i+3j=（-2，3）；

c=-2i-3j=（-2，-3）；

d=2i-3j=（2，-3）．

点评：

本例还可以得到启示，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．

四、小结

1．先由学生回顾本节学习的数学知识：

平面向量的基本定理，向量的夹角与垂直的定义，平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示．

2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合．

五、课堂作业

1．如图所示，已知=，=，用、表示，则等于（）

A．+B．+

C．-D．-

2．已知e1，e2是两非零向量，且|e1|=m，|e2|=n，若c=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R），则|c|的最大值为（）

A．λ1m+λ2nB．λ1n+λ2mC．|λ1|m+|λ2|nD．|λ1|n+|λ2|m

3．已知G1、G2分别为△A1B1C1与△A2B2C2的重心，且=e1，=e2，=e3，则等于（）

A．（e1+e2+e3）B．（e1+e2+e3）

C．（e1+e2+e3）D．（e1+e2+e3）

4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5．已知向量a、b且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是（）

A．A、B、DB．A、B、CC．C、B、DD．A、C、D

6．如右图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°

，与的夹角为30°

，且||=||=1，||=2，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为________．

参考答案：

1．B2．C3．B4．B5．A6．6

第2课时

一、知识与技能

1．理解平面向量的坐标的概念；

2．掌握平面向量的坐标运算；

3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线．

教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．

　三、情感、态度与价值观

在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．

平面向量的坐标运算．

对平面向量共线的坐标表示的理解．

平面向量坐标运算的探究.

结合向量坐标表示的定义及运算律，引导学生探究发现，最终得到结论．

问题式教学，启发诱导

在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上，在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．

教学准备

多媒体、尺规．

练习本、尺规．

前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后，可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？

提出问题：

①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），你能得出a+b，a-b，λa的坐标表示吗？

②如图，已知A（x1，y1），B（x2，y2），怎样表示的坐标？

你能在图中标出坐标为（x2-x1，y2-y1）的P点吗？

标出点P后，你能总结出什么结论？

教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：

a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=（x1+x2）i+（y1+y2）j，

即

a+b=（x1+x2，y1+y2）．

同理

a-b=（x1-x2，y1-y2）．

又λa=λ（x1i+y1j）=λx1i+λy1j．

∴λa=（λx1，λy1）．