七年级数学下册培优新帮手专题02数的整除性试题新版新人教版Word文档下载推荐.docx
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）；
④若整数
的末二位数是4（或25）的倍数，则4|
（或25|
⑤若整数
的末三位数是8（或125）的倍数，则8|
（或125|
⑥若整数
的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|
．
2．整除的基本性质
设
都是整数，有：
①若
|
，则
②若
|（
±
③若
，则[
]|
④若
，且
与
互质，则
⑤若
．特别地，若质数
，则必有
或
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而
且不能被5整除．
（“五羊杯”竞赛试题）
解题思想：
自然数
能同时被2和3整除，则
能被6整除，从中剔
除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知
是正整数（
＞
），对于以下两个结论：
①在
＋
－
这三个数中必有2的倍数；
②在
这三个数中必有3的倍数．其中（）
A．只有①正确B．只有②正确
C．①，②都正确D
．①，②都不正确
（江苏省竞赛试题）
举
例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数
能被198整除，求
的值．
198=2×
9×
11，整数
能被9，11整除，运用整除的相关特性建立
的等式，求出
【例4】已知
都是整数，当代数式7
＋2
＋3
的值能被13整除时，那么代数式5
＋7
－22
的值是否一定能被13整除，为什么？
（“华罗庚金杯”邀请赛试题）
先把5
构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M放在正整数
左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为
的“魔术数”（例如：
把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数），求正整数
的最小值，使得
存在互不相同的正整数
，…，
，满足对任意一个正整数
，在
中都至少有一个为
的“魔术数”．
（2013年全国初中数学竞赛试题）
不妨设
（
=1，2，3，…，
=0，1，2，3，4，5，6）至少有一个为
的“魔
术数”．根据题中条件，利用
是
的位数）被7除所得余数，分析
的取值．
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点
，跳动一次后到达
，已知
满足|
|=1，我们把青蛙从
开始，经
－1次跳动的位置依次记作
：
⑴写出一个
，使其
>
0；
⑵若
=13，
=2012，求
的值；
⑶对于整数
≥2），如果存在一个
能同时满足如下两个条件：
①
=0；
②
＋…＋
=0．求整数
≥2）被4除的余数，并说理理由．
（2013年“创新杯”邀请赛试题）
⑴
．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证
0．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若
=2012，从
经过1999步到
．不妨设向右跳了
步，向左跳了
步，则
，解得
可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设
同时满足两个条件：
=0．由于
=0，故从原点出发，经过（
－1）步到达
，假定这（
－1）步中，向右跳了
步，于是
－1，则
=0＋（
）＋（
）＋…（
）=2（
）－[（
）＋…＋（
）]=2（
）－
．由于
=0，所以
－1）=4（
）．即4|
（
－1）．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有
的学生得优，
的学生得良，
的学生得及格，则有________人不及格．
2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
（上海市竞赛试题）
3．一个五位数
能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是（）
A．532B．665C．133D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是（）
A．1B．2C．3D．6
6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有（）
A．12个B．18个C．
20个D．30个
（“希望杯”邀请赛试题）
7．五位数
是9的倍数，其中
是4的倍数，那么
的最小值为多少？
（黄冈市竞赛试题）
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字
，使得三位数
能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
9．173□是个四位数字，数学老师说：
“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：
数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
B级
1．若一个正整数
被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都
为1，则
的最小值为_________，
的一般表达式为____________．
2．已知
都是正整数，若1≤
≤
≤30，且
能被21整除，则满足条件的数对（
）共有___________个．
（天津市竞赛试题）
3．一个六位数
能被33整除，这样的六位数中最大是__________．
4．有以下两个数串
同时出现在这两个数串中的数的个数共有（）个．
A．333B．334C．335D．336
5．一个六位数
能被12整除，这样的六位数共有（）个．
A．4B．6C．8D．12
6．若1059，1417，2312分别被自然数
除时，所得的余数都是
的值为（）．
A．15B．1C．164D．174
7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数
，然后，魔术师再要求他记下五个数：
，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出
的大小，魔术师就能说出原数
是什么．如果N=3194，请你确定
（美国数学邀请赛试题）
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．
（武汉市竞赛试题）
9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．
10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999，求这个四位数，并说明理由．
（重庆市竞赛试题）
11．从1，2，…，9中任取
个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求
的最小值．
专题02数的整除性
例1267提示：
333－66＝267．
例2C提示：
关于②的证明：
对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：
（1）当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3（m－n）；
（2）当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3（m＋n＋1）；
（3）当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3（m＋n＋1）；
（4）当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3（m－n）.
例3a＝8．b＝0提示：
由9｜（19＋a＋b）得a＋
b＝8或17；
由11|（3＋a－b）得a－b＝8或－3．
例4设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x（7a＋2b＋3c）＋13（ya＋zb＋tc）.比较上式a，b，c的系数，应当有
，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，
则有13（2a＋b－c）－3（7a＋2b＋3c）＝5a＋7b－22c．既然3（7a＋2b＋3c）和13（2a＋b－c）都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．
例5考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，
设ai＝ki＋t（i＝1，2，3，…，n；
t＝0，1，2，3，4，5，6），至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·
10k＋m（k是m的位数），是7的倍数，当i≤b时，而ai·
t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；
当i＝7时，而ai·
10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，
当i＝7时，依抽屉原理，ai·
10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·
10k＋m被7整除，即n＝7．
例6
（1）A5：
0，1，2，1，0.（或A5：
0，1，0，1，0）
（2）a1000＝13＋999＝1012．（3）n被4除余数为0或1．
1．12．31433．397984．A5．C6．B
＝10×
＋e.又∵
为4的倍数．故最值为1000，又因为
为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此
最小值为10008.
8．324561提示：
d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，
9．19提示：
1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．
1．2521a＝2520n＋1（n∈N＋）
2．57
3．719895提示：
这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和（x＋1＋9＋8＋9＋y）也能被3整除，故x＋y能被3整除．
4．B
5．B
6．A提
示：
两两差能被n整除，n＝179，m＝164．
7．由题意得
＝3194，两边加上
．得222（a＋b＋c
）＝3194＋
∴222（a
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