初中奥数系列暑期第9讲 全等三角形中的截长补短 学生版Word格式.docx

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外角的平分线交于点

有怎样的数量关系?

【例3】如图2-9所示．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：

AE=BC+CE．

【例4】已知：

如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：

BE+DF=AE.

【例5】以

的

为边向三角形外作等边

，连结

相交于点

．求证：

平分

．

【例6】如图所示，

是边长为

的正三角形，

是顶角为

的等腰三角形，以

为顶点作一个

，点

分别在

上，求

的周长．

【巩固】

（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在

是底边

上的一点，

是线段

上的一点，且

，求证

.

【例7】五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°

，求证：

AD平分∠CDE

（2009浙江湖州）若

为

所在平面上一点，且

，则点

叫做

的费马点．

⑴若点

为锐角

的费马点，且

，则

的值为________；

⑵如图，在锐角

外侧作等边

求证：

过

的费马点

，且

版块二：

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．

，这种对称的图形应用得也较为普遍，

【例1】如图，已知

的周长是

于

，求

的面积．

【例2】在

边上的点，已知

【例3】如图所示：

【例4】已知

分别是

及

平分线．求证：

【例5】（2006年北京中考题）已知

【例6】如图，在

的交点为

【例7】如图，已知

是

上的一点，又

【例8】（

北京中考题）如图所示，

的平分线，

【例10】如图所示，已知

上．

∥

【巩固】如图，在

交

于点

中点，

的延长线于点

，交

，若

的角平分线．

【例11】如图所示，AD是

的角平分线，DE、DF分别是

的高，

等于________．

【例12】如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB=6，AC=3，∠BAC=120°

．求AD的长．

【巩固】在

的平分线．

上任意一点．求证：

【例13】如图，在

的平分线

【巩固】如图，

点．求证：

【巩固】已知等腰

的平分线交

【例14】如图所示，在

的中点，

且交

的延长线于

【例15】如图所示，在

的平分线，若

【巩固】如图所示，

中

的外角平分线，

的中点，求证

且

【巩固】如图所示，在

【例16】如图，

分别为两底角的外角平分线，

【巩固】已知：

⑴

；

⑵

【例17】如图，在

【例18】在直角三角形

．自

作

版块三：

倍长中线法

三角形中线的定义：

三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）

三角形中位线定义：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：

经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）

见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

【例1】已知：

是中线．求证：

（2002年通化市中考题）在

边上的中线

的长的取值范围是什么？

【例2】如图，

【例3】如图，已知在

边上的中线，

上一点，延长

【例4】如图，在

【例5】已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．

【例6】已知

的中线，

的平分线分别交

、交

【例7】在

的中点，点

分别为

上的点，且

．以线段

为边能否构成一个三角形？

若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

垂直于

，如果

【例8】（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）已知：

如图，梯形

的延长线与

的延长线相交于点

【例9】（浙江省2008年初中毕业生学业考试（湖州市）数学试卷）如图，在

边的中点，

及其延长线上的点，

【例10】（

年四川省初中数学联赛复赛·

初二组）在

是斜边

分别在边

上，满足

．若

，则线段

的长度为_________．

【例11】如图所示，在

上的中线，且

【例12】如图所示，

【巩固】已知在

是中线，

上的任意一点，

版块四、中位线的应用

【例13】

的延长线交

，延长

到

，使

的中点，连接

【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE

【例15】已知：

ABCD是凸四边形，且AC<

BD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；

EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：

∠GMN>

∠GNM．

【例16】在

，以

为底作等腰直角

的中点，求证：

【例17】如图，在五边形

的中点．求证：

【例18】（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，

内的一点，

，过

【例19】（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在

的中点，分别延长

到点

．过

分别作直线

的垂线，相交于点

，设线段

的中点分别为

（1）

（2）

【例20】已知：

在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：

PM＝PN（1991年泉州市初二数学双基赛题）

【例21】已知，如图四边形

的延长线分别交于

两点．求证：

（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）已知：

在

，动点

绕

的顶点

逆时针旋转，且

的中点

作直线，直线

与直线

分别相交于点

⑴如图1，当点

旋转到

的延长线上时，点

恰好与点

重合，取

，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论

（不需证明）．

⑵当点

旋转到图2或图3中的位置时，

有何数量关系？

请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

【例22】如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：

FM=

AC．

（2004全国数学联赛试题）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，分别以两腰AB、CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF．设线段AD的垂直平分线

交线段EF于点M．求证：

点M为EF的中点．