高中数学人教a版高一必修二章末综合测评2有答案Word格式.docx
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,又因为l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°
,所以l1⊥l3,故B对;
对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;
对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选B.
【答案】 B
4.设a、b为两条直线,α、β为两个平面,则正确的命题是( )
【导学号:
09960089】
A.若a、b与α所成的角相等,则a∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b
C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b
【解析】 A中,a、b可以平行、相交或异面;
B中,a、b可以平行或异面;
C中,α、β可以平行或相交.
5.(2016·
山西山大附中高二检测)如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于( )
图1
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
【解析】 如图,连接A1B、BC1、A1C1,则A1B=BC1=A1C1,
且EF∥A1B、GH∥BC1,
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°
.
6.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】 选项A,平行于同一条直线的两个平面也可能相交,故选项A错误;
选项B,垂直于同一直线的两个平面互相平行,选项B正确;
选项C,由条件应得α⊥β,故选项C错误;
选项D,l与β的位置不确定,故选项D错误.故选B.
7.(2015·
洛阳高一检测)如图2,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形,且∠BAC=60°
,下列说法中错误的是( )
图2
A.AD⊥平面BDC
B.BD⊥平面ADC
C.DC⊥平面ABD
D.BC⊥平面ABD
【解析】 由题可知,AD⊥BD,AD⊥DC,所以AD⊥平面BDC,又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,所以AB=AC,BD=DC=AB.
又∠BAC=60°
,所以△ABC为等边三角形,故BC=AB=BD,
所以∠BDC=90°
,即BD⊥DC.
所以BD⊥平面ADC,同理DC⊥平面ABD.
所以A、B、C项均正确.选D.
8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】 由棱锥体积公式可得底面边长为2,高为3,在底面正方形的任一边上,取其中点,连接棱锥的顶点及其在底面的射影,根据二面角定义即可判定其平面角,在直角三角形中,因为tanθ=(设θ为所求平面角),所以二面角为60°
,选C.
【答案】 C
9.将正方形ABCD沿BD折成直二面角,M为CD的中点,则∠AMD的大小是( )
B.30°
【解析】 如图,设正方形边长为a,作AO⊥BD,则AM===a,
又AD=a,DM=,∴AD2=DM2+AM2,∴∠AMD=90°
10.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面AC,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为( )
A.B.
C.D.
【解析】 如图,过点A作AE⊥BD于点E,连接PE.
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAE,
∴BD⊥PE.
∵AE==,PA=1,
∴PE==.
11.(2016·
大连高一检测)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )
09960090】
A.75°
C.45°
D.30°
【解析】 如图所示,P为正三角形A1B1C1的中心,设O为△ABC的中心,由题意知:
PO⊥平面ABC,连接OA,则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角.
在正三角形ABC中,AB=BC=AC=,
则S=×
()2=,
VABCA1B1C1=S×
PO=,∴PO=.
又AO=×
=1,
∴tan∠PAO==,∴∠PAO=60°
12.正方体ABCDA1B1C1D1中,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.以下结论中,错误的是( )
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH⊥平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1
D.直线AH和BB1所成的角为45°
【解析】 因为AH⊥平面A1BD,
BD⊂平面A1BD,
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1,且AH∩AA1=A.
所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.
所以A1H⊥BD,
同理可证BH⊥A1D,
所以点H是△A1BD的垂心,A正确.
因为平面A1BD∥平面CB1D1,
所以AH⊥平面CB1D1,B正确.
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,所以AC1和AH重合.故C正确.
因为AA1∥BB1,所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角.
因为∠AA1H≠45°
,所以∠A1AH≠45°
,故D错误.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.设平面α∥平面β,A、C∈α,B、D∈β,直线AB与CD交于点S,且点S位于平面α,β之间,AS=8,BS=6,CS=12,则SD=________.
【解析】 由面面平行的性质得AC∥BD,=,解得SD=9.
【答案】 9
14.如图3,四棱锥SABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件:
________时,SC∥平面EBD.
图3
【解析】 当E是SA的中点时,
连接EB,ED,AC.
设AC与BD的交点为O,连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是AC的中点.
又E是SA的中点,
∴OE是△SAC的中位线.
∴OE∥SC.
∵SC⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,
∴SC∥平面EBD.
【答案】 E是SA的中点
15.如图4所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN等于________.
图4
【解析】 ∵B1C1⊥平面A1ABB1,
MN⊂平面A1ABB1,
∴B1C1⊥MN,又∠B1MN为直角,
∴B1M⊥MN,而B1M∩B1C1=B1.
∴MN⊥平面MB1C1,又MC1⊂平面MB1C1,
∴MN⊥MC1,∴∠C1MN=90°
【答案】 90°
16.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E、F分别是棱PC、PD的中点,则
①棱AB与PD所在直线垂直;
②平面PBC与平面ABCD垂直;
③△PCD的面积大于△PAB的面积;
④直线AE与直线BF是异面直线.
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)
【解析】 由条件可得AB⊥平面PAD,
∴AB⊥PD,故①正确;
若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,
得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB,这是不可能的,故②错;
S△PCD=CD·
PD,S△PAB=AB·
PA,
由AB=CD,PD>
PA知③正确;
由E、F分别是棱PC、PD的中点,
可得EF∥CD,又AB∥CD,
∴EF∥AB,故AE与BF共面,④错.
【答案】 ①③
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)如图5所示,已知△ABC中,∠ACB=90°
,SA⊥平面ABC,AD⊥SC,求证:
AD⊥平面SBC.
图5
【证明】 ∵∠ACB=90°
,
∴BC⊥AC.
又∵SA⊥平面ABC,
∴SA⊥BC,∵SA∩AC=A,
∴BC⊥平面SAC,∴BC⊥AD.
又∵SC⊥AD,SC∩BC=C,
∴AD⊥平面SBC.
18.(本小题满分12分)如图6,三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.
图6
(1)求证:
AC⊥B1C;
(2)求证:
AC1∥平面CDB1.
【证明】
(1)∵C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC.
∵AC=9,BC=12,AB=15,
∴AC2+BC2=AB2,
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1B1,
而B1C⊂平面BCC1B1,
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于O点,连接OD.如图,∵O,D分别为BC1,AB的中点,∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
19.(本小题满分12分)(2016·
德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.
(1)根据三视图,画出该几何体的直观图;
(2)在直观图中,①证明:
PD∥面AGC;
②证明:
面PBD⊥面AGC.
图7
【解】
(1)该几何体的直观图如图所示:
(2)证明:
①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.
②连接PO,由三视图知,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.
又AO⊥BO,所以AO⊥平面PBD.
因为AO⊂平面AGC,
所以平面PBD⊥平面AGC.
20.(本小题满分12分)(2016·
济宁高一检测)如图8,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
图8
AF∥平面BDE;
CF⊥平面BDE.
09960091】
【证明】
(1)如图,设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG,且EF=1,
AG=AC=1,
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG,