条件极值多元函数的极值与拉格朗日乘数法PPT资料.ppt

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极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时,极值.,极值点.,内的值比较.,是与P0的邻域,极小值可能比极大值还大.,3,4,例,例,例,函数存在极值,在（0,0）点取极小值.,在（0,0）点取极大值.,（也是最大值）.,在（0,0）点无极值.,椭圆抛物面,下半个圆锥面,马鞍面,在简单的情形下是,容易判断的.,函数,函数,（也是最小值）.,函数,4,5,2.极值的必要条件,证,定理1,（必要条件）,则它在该,点的偏导数必然为零:

有极大值,不妨设,都有,说明一元函数,有极大值,必有,类似地可证,5,6,推广,如果三元函数,具有偏导数,则它在,有极值的必要条件,为,均称为函数的,驻点,极值点,仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的,点,驻点.,如何判定一个驻点是否为极值点,如,驻点,但不是极值点.,注,6,7,3.极值的充分条件,定理2,（充分条件）,的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:

（1）,有极值,有极大值,有极小值;

（2）,没有极值;

（3）,可能有极值,也可能无极值.,7,8,求函数极值的一般步骤:

第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,8,9,例,解,又,在点（0,0）处,在点（a,a）处,故,故,即,的极值.,在（0,0）无极值;

在（a,a）有极大值,9,10,解,练习,求由方程,将方程两边分别对x,y求偏导数,由函数取极值的必要条件知,驻点为,将上方程组再分别对x,y求偏导数,法一,10,11,故,函数在P有极值.,代入原方程,为极小值;

为极大值.,所以,所以,11,12,求由方程,解,练习,法二,配方法,方程可变形为,于是,显然,根号中的极大值为4,由可知,为极值.,即,为极大值,为极小值.,12,13,取得.,然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:

函数,不存在,但函数在点（0,0）处都具有极大值.,在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.,由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处,但也可能是极值点.,在点（0,0）处的偏导数,13,14,2003年考研数学

（一）,4分,选择题,已知函数f（x,y）在点（0,0）的某个邻域内连续,则,（A）点（0,0）不是f（x,y）的极值点.,（B）点（0,0）是f（x,y）的极大值点.,（C）点（0,0）是f（x,y）的极小值点.,（D）根据所给条件无法判断点（0,0）是否为f（x,y）的极值点.,14,15,其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,4.多元函数的最值,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较,15,16,解,

（1）求函数在D内的驻点,由于,所以函数在D内无极值.,

（2）求函数在D边界上的最值,（现最值只能在边界上）,围成的三角形闭域D上的,最大（小）值.,例,D,16,17,在边界线,在边界线,由于,最小,由于,又在端点（1,0）处,所以,最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,17,18,在边界线,所以,最值在端点处.,由于,函数单调下降,（3）,比较,18,19,解,练习,此时,的最大值与最小值.,驻点,得,19,20,对自变量有附加条件的极值.,其他条件.,无条件极值,对自变量除了限制在定义域内外,并无,条件极值,二、条件极值拉格朗日乘数法,20,21,解,例,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？

设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值,体体积最大.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点,21,22,上例的极值问题也可以看成是求三元函数,的极值,要受到条件,的限制,这便是一个条件极值,问题.,目标函数,约束条件,有时条件极值,目标函数中化为无条件极值.,可通过将约束条件代入,但在一般情形,甚至是不可能的.,下面要介绍解决条件极值问题的一般,方法:

下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法,22,23,拉格朗日乘数法:

现要寻求目标函数,在约束条件,下取得,利用隐函数的概念与求导法,如函数

（1）在,由条件,

（1）,

（2）,极值的必要条件.,取得所求的极值,那末首先有,（3）,确定y是x的隐函数,不必将它真的解出来,则,于是函数

（1）,即,取得所,取得极值.,求的极值.,23,24,其中,代入（4）得:

由一元可导函数取得极值的必要条件知:

（4）,取得极值.,在,（3）,（5）两式,取得极值的必要条件.,就是函数

（1）在条件

（2）下的,24,25,设,上述必要条件变为:

（6）中的前两式的左边正是函数:

（6）,的两个一阶偏导数在,的值.,函数,称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.,25,26,拉格朗日乘数法:

极值的必要条件,在条件,要找函数,下的可能极值点,先构造函数,为某一常数,其中,可由,解出,其中,就是可能的极值点的坐标.,26,27,如何确定所求得的点,实际问题中,非实际问题我们这里不做进一步的讨论.,拉格朗日乘数法可推广:

判定.,可根据问题本身的性质来,的情况.,自变量多于两个,是否为极值点,27,28,解,则,又是实际问题,解得唯一驻点,一定存在最值.,令,28,29,解,为椭球面上的一点,令,则,的切平面方程为,在第一卦限内作椭球面,的,使切平面与三个坐标面所围成的,例,切平面,四面体体积最小,求切点坐标.,29,30,目标函数,该切平面在三个轴上的截距各为,化简为,所求四面体的体积,约束条件,在条件,下求V的最小值,30,31,约束条件,令,由,目标函数,31,32,可得,即,当切点坐标为,四面体的体积最小,32,33,练习,解,为简化计算,令,是曲面上的点,它与已知点的距离为,问题化为在,下求,的最小值.,目标函数,约束条件,33,34,设,

（1）,

（2）,（3）,（4）,34,35,由于问题确实存在最小值，,故,得唯一驻点,还有别的简单方法吗,用几何法!

35,36,练习,解,为此作拉格朗日乘函数:

上的最大值与最小值.,在圆内的可能的极值点;

在圆上的最大、最小值.,36,37,最大值为,最小值为,37,38,2002年考研数学

（一）,7分,设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,

（1）设M（x0,y0）为区域D上一点,问h（x,y）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?

若记此方向导数,的最大值为g（x0,y0）,试写出g（x0,y0）的表达式.,

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.,是说,要在D的边界线,上找出使

（1）中,的g（x,y）达到最大值的点.,试确定攀岩起点的位置.,也就,练习,38,39,解,

（1）由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h（x,y）在点M（x0,y0）,处沿梯度,方向导数的最大值为该,梯度的模,所以,

（2）令,由题意,只需求,在约束条件,下的最大值点.,令,39,40,则,

（1）,

（2）,（3）,

（1）+

（2）:

从而得,由

（1）得,再由（3）得,由（3）得,于是得到4个可能的极大值点,可作为攀登的起点.,40,41,多元函数极值的概念,条件极值拉格朗日乘数法,多元函数取得极值的必要条件、充分条件,多元函数最值的概念,三、小结,（上述问题均可与一元函数类比）,41,42,思考题,答,不一定.,二元函数,在点,处有极值,（不妨设为极小值）,是指存在,当点,且,沿任何曲线趋向于,一元函数,在点x0,处取得有极小值,表示动点,且,沿直线,42,43,并沿该直线（即沿平行于Ox轴的正负,方向）趋向于,它们的关系是:

在点,取得极大（小）值,取得极大（小）值.,43,