指数函数与对数函数的关系Word文档格式.docx
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（3）交换x,y改写成y=f-1（x）；
（4）用f（x）的值域确定f-1（x）的定义域.
知识点二、指数函数与对数函数的关系
指数函数与对数函数互为反函数.
定义
定义域
值域
图象
性质
指数函数
y=ax（a>
0且a≠1）叫指数函数
（-∞，+∞）
（0，+∞）
（1）图象过点（0，1）
（2）a>
1，当x>
0，y>
1；
当x=0，y=1；
当x<
0时0<
y<
1。
0<
a<
0，0<
（3）a>
1，y=ax为增函数；
1，y=ax为减函数。
对数函数
y=logax（a>
0且a≠1）叫对数函数
（1）图象过点（1，0）
1时，当x>
1，y>
0；
当x=1，y=0；
当0<
x<
1，y<
0.
1时，当0<
当x>
1，y=logax为增函数；
1，y=logax是减函数.
注意：
指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律.
（1）
①y=ax②y=bx③y=cx④y=dx则：
b<
1<
d<
c
又即：
x∈（0，+∞）时，bx<
ax<
dx<
cx（底大幂大）
x∈（-∞，0）时，bx>
ax>
dx>
cx
（2）
①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx
则有：
x∈（1，+∞）时，logax<
logbx<
logcx<
logdx（底大对数小）
x∈（0，1）时，logax>
logbx>
0>
logcx>
logdx
三、规律方法指导
互为反函数与的图象关于直线y=x对称.可知：
1．函数的图象关于直线y=x对称；
2．点A（m，n）在函数的反函数的图象上A（m，n）关于直线y=x的对称点
B（n，m）在的图象上.
经典例题透析
类型一、求函数的反函数
1．已知f（x）=（0≤x≤4），求f（x）的反函数.
思路点拨：
这里要先求f（x）的围（值域）.
解：
∵0≤x≤4，∴0≤x2≤16，9≤25-x2≤25，∴3≤y≤5，
∵y=，y2=25-x2，∴x2=25-y2.∵0≤x≤4，∴x=（3≤y≤5）
将x，y互换，∴f（x）的反函数f-1（x）=（3≤x≤5）.
2．已知f（x）=，求f-1（x）.
求分段函数的反函数问题，应逐段求其反函数，再合并.
当x≥0时，y=x+1≥1，∴y∈[1，+∞），∴f-1（x）=x-1（x≥1）；
当x<
0时，y=1-x2<
1，∴y∈（-∞，1），反解x2=1-y，x=-（y<
1），
∴f-1（x）=-（x<
1）；
∴综上f-1（x）=.
类型二、利用反函数概念解题
3．已知f（x）=（x≥3），求f-1（5）.
这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值，所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实，转化成方程问题.
设f-1（5）=x0，则f（x0）=5，即=5（x0≥3）∴x02+1=5x0-5，x02-5x0+6=0.
解得x0=3或x0=2（舍），∴f-1（5）=3.
举一反三：
【变式1】记函数y=1+3-x的反函数为，则g（10）=（）
A．2 B．-2 C．3 D．-1
（法一）依题意，函数的反函数y=-log3（x-1），因此g（10）=-2.
（法二）依题意，由互为反函数的两个函数的关系，得方程1+3-x=10，解得x=-2，即g（10）=-2.答案B.
4．设点（4，1）既在f（x）=ax2+b（a<
0，x>
0）的图象上，又在它的反函数图象上，求f（x）解析式.
由前面总结的性质我们知道，点（4，1）在反函数的图象上，则点（1，4）必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a，b的点，也就有了两个求解a，b的方程.
解得.a=-，b=，∴f（x）=-x+.
另：
这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x上.
5．已知f（x）=的反函数为f-1（x）=，求a，b，c的值.
注意二者互为反函数，也就是说已知函数f-1（x）=的反函数就是函数f（x）.
求f-1（x）=的反函数，令f-1（x）=y有yx-3y=2x+5. ∴（y-2）x=3y+5
∴x=（y≠2），f-1（x）的反函数为y=.即=，∴a=3，b=5，c=-2.
类型三、互为反函数图象间关系
6．将y=2x的图象先______，再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x＋1）的图象（ ）
A．先向上平行移动一个单位 B．先向右平行移动一个单位
C．先向左平行移动一个单位 D．先向下平行移动一个单位
解析：
本题是关于图象的平移变换和对称变换，可求出解析式或利用几何直观推断．
答案：
D
总结升华：
本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识，以及基本计算技能和几何直观思维能力．
【变式1】函数y=f（x+1）与函数y=f-1（x+1）的图象（）
A.关于直线y=x对称 B.关于直线y=x+1对称
C.关于直线y=x-1对称 D.关于直线y=-x对称
y=f（x+1）与y=f-1（x+1）图象是分别将y=f（x），y=f-1（x）的图象向左平移一个单位所得，
∵y=f（x）与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，y=x向左平移一个单位而得y=x+1.故选B.
【变式2】已知函数y=log2x的反函数是y=f—1（x），则函数y=f—1（1-x）的图象是（）
【答案】由y=log2x得f—1（x）＝2x，所以y=f—1（1-x）＝21-x，选择C.
【变式3】
（2011理7）若是上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是（）
当时，函数单调递减，值域为，此时，
其反函数单调递减且图象在与之间，故选A．
类型四、指数函数和对数函数的综合问题
7．已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）求其单调增区间的反函数．
复合函数y=f[g（x）]的单调性与y=f（t），t=g（x）的单调性的关系：
同增异减．
（1）函数的定义域{x|x<
0或x>
2}，又t=x2-2x=（x-1）2-1．
∴x（-∞，0），t是x的减函数．而是减函数，
∴函数f（x）在（-∞，0）为增函数．
（2）函数f（x）的增区间为（-∞，0），
令，则．
∴，．
∵x<
0，∴．∴．
研究函数单调性首先要确定定义域；
在函数的每个单调区间存在反函数，因此要注意反函数存在的条件．
学习成果测评
一、选择题
1.（2011全国理2）函数的反函数为（）
A. B.
C. D.
2.函数的反函数是（）
A． B．
C． D．
3.函数的定义域是，则值域是（）
A．R B． C． D．
4.函数，则的定义域是（）
A．R B． C． D．
5.设函数的图象过点，其反函数的图象过点，则等
于（）
A．3 B．4 C．5 D．6
6.将函数的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线对称后所得图象的函数解析
式为（）
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）
8.函数y=1+ax（0<
1）的反函数的图象大致是（）
9.已知函数，f（x）的反函数为，当y≥0时，的图象是
10.方程的实根的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11.求函数的反函数=______________，反函数的定义域是____________，值域
是______.
12.若函数，且）的反函数的图像过点，则________．
13.函数，若此函数的最大值比最小值大1，则________.
14.函数在上的最大值比最小值大1，则_________.
15.函数的图象过，则函数的反函数过点__________.
三、解答题
16.若函数的定义域为R，数的取值围.
17.求函数的反函数.
18.已知函数
（1）求函数的定义域和值域；
（2）求出与的图象关于x轴、y轴及y=x对称的图象对应的函数.
答案与解析
1.B2.A3.C4.B5.B6.C
7.D（提示：
）
8.A9.A
10.C（提示：
数形结合）
11. 12. 13.2或 14.
15. （提示：
令x=4则过）
16.
17.由知.
18.
（1）
值域：
（2）关于x轴对称的为即；
关于y轴对称的为即；
关于y=x对称的为.
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