数学竞赛单元训练题高中排列组合Word文档格式.docx

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　B.

　　　　C.

　　　　　D.

　　4.在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共27个点中，不共线的三点组的个数是（　　）

　　A.2898　　　　　B.2877　　　　　C.2876　　　　D.2872

　　5.有两个同心圆，在外圆上有相异的6个点，内圆上有相异的3个点.由这9个点所确定的直线最少可有（　　）

　　A.15条　　　　　B.21条　　　　　C.36条　　　　D.3条

　　6.已知两个实数集A={a1，a2，…，a60}与B={b1，b2，…，b25}.若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f（a1）≥f（a2）≥…≥f（a60）.则这样的映射共有（　　）

　　A.

　　　　　B.

　　　　　　C.

　　　　　D.

　　二、填空题

　　7.4410共有__________个不同的正约数.

　　8.有7个人站成一排，其中A、B不能相邻，C、D必须挨在一起，且C要求在A的右侧.则共有站队方法数是____________.

　　9.如图，两圆相交于A、B两点，在两圆周上另有六点C、D、E、F、G、H，其中仅E、B、G共线，其他无三点共线.这八点最多可以确定不同圆的个数是__________.

　　10.一个圆周上有5个红点，7个白点，要求任两个红点不得相邻.那么共有_________种排列方法.

　　11.平面上给定5点，这些点两两间的连线互不平行，又不垂直，也不重合.现从任一点向其余四点两两之间的连线作垂线，则所有这些垂线间的交点数最多是_____________.

　　12.10人有相应的10个指纹档案，每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹，并有检测指示灯和检测时的手指按扭.10人中某人把手指按在键钮上，若是他的档案，则指示灯出现绿色，否则出现红色.现在这10人把手指按在10个指纹档案的键钮上去检测，规定一个人只能在一个档案上去检测，并且两个人不能在同一个档案上去检测，这时指示灯全部出现红色.这样的情况共有__________种.

　　三、解答题

　　13.中、日围棋队各出7名队员，按事先安排好的次序出场进行围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，……，直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程.现在中方只动用了5名队员，就击败了日方的所有队员.问这样的比赛过程有多少种？

　　14.从1到n（n≥3，且n为整数）之间任取3个不同的整数，使得这3个数的和正好被3整除.如果这样的取法有53922种，试确定n的取值.

　　15.集合A中有n个元素，其中有m个是特殊元素（m≤n）.已知集合A的五元素子集共有68个，且每个子集中都含有至少一个特殊元素.此外，集合A的任意一个三元素子集都恰好被一个五元素子集所包含.

（1）求n的取值；

（2）请回答：

所有五元素子集中是否有至少含4个特殊元素的集合？

参考答案

　　一、选择题

　　1.可把问题转化为：

4个不同的元素，放到6个位置中，有

种方法，选C.

　　2.问题相当于：

把4个相同的球放入三个不同的盒中，有

种放法，故选B.

　　3.此题即：

3个人坐10个位置，一人只能坐一个，且两两不得相邻，有

种坐法，选C.

　　4.用间接法.容易求得共线的三点组共有49个，而所有的三点组共有

，所以不共线的三点组共有

（个），故选C.

　　5.设P1、P2、P3是内圆上三点，Q1、Q2，…，Q6分别为三条直线P1P2、P2P3、P3P1与外圆的交点，此时9个点所确定的直线最少有

（条），选B.

　　6.此题相当于：

用25个从大到小的数从左至右的顺序不变，去插入到a1，a2，a3，…，a60这60个数的两数空隙之间.要求最大数必在a1左侧，最小数不得在a60右侧，共有

个映射，故选B.

　　7.由4410=2×

32×

5×

72知：

正约数中含2的指数幂有2种，含3的指数幂有3种情况，含5的指数幂有2种情况，含7的指数幂有3种情况，而2、3、5、7均为质数，故根据分步原理共有2×

3×

2×

3=36个不同的正约数.

　　8.把C、D捆绑起来看作一个元素，元素A只能安放在从左至右的前5个位置中，故对A的位置分类：

　　若A在左起第1位，则有

（种）；

　　若A在左起第2位，则有

　　若A在左起第3位，则有

　　若A在左起第4位，则有

　　若A在左起第5位，则有

（种）.

　　所以，共有站队方法数498种.

　　9.过8个点可作

个圆，需减去两类：

①E、B、G共线，减去1个；

②A、B、C、D、E五点共圆及A、B、F、G、H五点共圆，减去

个，所以最多可以确定不同圆的个数是37个.

　　10.用插空法，共有

种排列方法.

　　11.用排除法.设A1、A2、…、A5为平面上给定的5个点，A2、A3、A4、A5之间两两连线有

条，从A1出发可引6条垂线，依此5个点共可引30条垂线，它们之间最多有

个交点.但应排除以下三种情况：

①从A1、A2、A3作A4A5的三条垂线互相平行，无交点，这样的情形共有

个；

②从Ai（i=1，2，3，4，5）出发的6条垂线都交于点Ai，这样的点共有

个，只能留下5个，剩余的应减去；

③Ai（i=1，2，3，4，5）中每三点构成一个三角形，三角形的三条高共点，应减去

个.

　　因此，满足题意的交点最多有

　　12.此题相当于：

10个编号为1，2，3，…，10的球放入十个编号为1，2，3，…，10的盒中，要求每个盒中只盛一球，且号码均不相同，求放法总数.

　　设这种情况的n个号码时，方法数为an.第一步是安排第1号球，共有n-1种方法.此时，不妨设1号球安排在了第i（i≠1）号位置.再安排第i号