江苏省南京市高三三模考试数学试题及答案Word下载.docx

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因为sinB≠0，所以cosA＝．

因为0＜A＜π，所以A＝．…………………………7分

（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin（－B）＝sinB＋sincosB－cossinB

＝sinB＋cosB＝sin（B＋）．…………………………11分

因为0＜B＜，所以＜B＋＜．

所以sinB＋sinC的取值范围为（，]．…………………………14分

16．证明：

（1）取PD的中点F，连接EF，CF．

因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．

因为BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四边形BCFE为平行四边形．

所以BE∥CF．…………………………4分

因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，

所以BE∥平面PCD．…………………………6分

（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．

因为BE∥CF，所以PA⊥CF．…………………………9分

因为PA⊥PD，PD⊂平面PCD，CF⊂平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD．…………………………12分

因为PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．…………………………14分

17．解：

（1）由题意，得PQ＝50－50cosθ．

从而，当θ＝时，PQ＝50－50cos＝75．

即点P距地面的高度为75m．…………………………4分

（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sinθ，从而MQ＝60－50sinθ，NQ＝300－50sinθ．

又PQ＝50－50cosθ，

所以tan∠NPQ＝＝，tan∠MPQ＝＝．

…………………………6分

从而tan∠MPN＝tan（∠NPQ－∠MPQ）

＝＝

＝．…………………………9分

令g（θ）＝，θ∈（0，π），

则g'

（θ）＝，θ∈（0，π）．

由g'

（θ）＝0，得sinθ＋cosθ－1＝0，解得θ＝．

…………………………11分

当θ∈（0，）时，g'

（θ）＞0，g（θ）为增函数；

当θ∈（，π）时，g'

（θ）＜0，g（θ）为减函数，

所以，当θ＝时，g（θ）有极大值，也为最大值．

因为0＜∠MPQ＜∠NPQ＜，所以0＜∠MPN＜，

从而当g（θ）＝tan∠MPN取得最大值时，∠MPN取得最大值．

即当θ＝时，∠MPN取得最大值．…………………………14分

（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，

则圆O的方程为x2＋（y－50）2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M（60，0），N（300，0）．

设点P的坐标为（x0，y0），所以Q（x0，0），且x02＋y02－100y0＝0．

从而tan∠NPQ＝＝，tan∠MPQ＝＝．

＝．

由题意知，x0＝50sinθ，y0＝50－50cosθ，

所以tan∠MPN＝＝．…………………………9分

（下同方法一）

18．解：

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0）．

由题意，得解得

所以椭圆方程为＋＝1．

因为椭圆C过点（，1），所以＋＝1，

解得m＝2或m＝－（舍去）．

所以m＝2．…………………………4分

（2）①设点T（x，y）．

由＝，得（x＋2）2＋y2＝2[（x＋1）2＋y2]，即x2＋y2＝2．…………………6分

由得y2＝m2－m．

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．

所以椭圆C的离心率e＝[，]．…………………………10分

②（方法一）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

则＝（x0＋2，y0），＝（x1＋2，y1）．

由＝λ，得

从而…………………………12分

因为＋y02＝1，所以＋（λy1）2＝1．

即λ2（＋y12）＋2λ（λ－1）x1＋2（λ－1）2－1＝0．

因为＋y12＝1，代入得2λ（λ－1）x1＋3λ2－4λ＋1＝0．

由题意知，λ≠1，

故x1＝－，所以x0＝．

同理可得x0＝．…………………………14分

因此＝，

所以λ＋μ＝6．…………………………16分

（方法二）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

直线AM的方程为y＝（x＋2）．

将y＝（x＋2）代入＋y2＝1，得（（x0＋2）2＋y）x2＋4yx＋4y－（x0＋2）2＝0（*）．

因为＋y02＝1，所以（*）可化为（2x0＋3）x2＋4yx－3x－4x0＝0．

因为x0x1＝－，所以x1＝－．

同理x2＝．…………………………14分

因为＝λ，＝μ，

所以λ＋μ＝＋＝＋

＝＋＝6．

即λ＋μ为定值6．…………………………16分

19．解：

（1）由h（x）＝f（x）＋g（x）＝x2－x＋t＋lnx，得h'

（x）＝2x－1＋，x＞0．

因为2x＋≥2＝2，所以h'

（x）＞0，

从而函数h（x）是增函数．…………………………3分

（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12－x1＋t），（x2，lnx2），

由f'

（x）＝2x－1，得l的方程为y－（x12－x1＋t）＝（2x1－1）（x－x1），即y＝（2x1－1）x－x12＋t．

（x）＝，得l的方程为y－lnx2＝（x－x2），即y＝·

x＋lnx2－1．

所以（*）

消去x1得lnx2＋－（t＋1）＝0（**）．…………………………7分

令F（x）＝lnx＋－（t＋1），则F'

（x）＝－＝＝，x＞0．

由F'

（x）＝0，解得x＝1．

当0＜x＜1时，F'

（x）＜0，当x＞1时，F'

（x）＞0，

所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

从而F（x）min＝F

（1）＝－t．…………………………9分

当t＝0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，

即存在唯一一条满足题意的直线；

…………………………11分

当t＞0时，F

（1）＜0，由于F（et＋1）＞ln（et＋1）－（t＋1）＝0，

故方程（**）在（1，＋∞）上存在唯一解；

…………………………13分

令k（x）＝lnx＋－1（x≤1），由于k'

（x）＝－＝≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，

故当0＜x＜1时，k（x）＞k

（1）＝0，即lnx＞1－，

从而lnx＋－（t＋1）＞（－）2－t．

所以F（）＞（＋）2－t＝＋＞0，又0＜＜1，

故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．

所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．

即存在两条满足题意的直线．

综上，当t＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；

当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．

…………………………16分

20．解：

（1）由（Sm＋n＋S1）2＝4a2na2m，得（S2＋S1）2＝4a，即（a2＋2a1）2＝4a．

因为a1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即＝2．…………………………3分

证明：

（2）（方法一）令m＝1，n＝2，得（S3＋S1）2＝4a2a4，即（2a1＋a2＋a3）2＝4a2a4，

令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4．

所以a4＝4a2＝8a1．

又因为＝2，所以a3＝4a1．…………………………6分

由（Sm＋n＋S1）2＝4a2na2m，得（Sn＋1＋S1）2＝4a2na2，（Sn＋2＋S1）2＝4a2na4．

两式相除，得＝，所以＝＝2．

即Sn＋2＋S1＝2（Sn＋1＋S1），

从而Sn＋3＋S1＝2（Sn＋2＋S1）．

所以an＋3＝2an＋2，故当n≥3时，{an}是公比为2的等比数列．

又因为a3＝2a2＝4a1，从而an＝a1·

2n－1，n∈N*．

显然，an＝a1·

2n－1满足题设，

因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列．…………………………10分

（方法二）在（Sm＋n＋S1）2＝4a2na2m中，

令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n．①

令m＝n＋1，得S2n＋1＋S1＝2，②

在①中，用n＋1代n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2．③

②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2（－），④

③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2（－），⑤

由④⑤得a2n＋1＝．⑥

…………………………8分

⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n；

⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1，

所以＝＝2．又＝2，

从而an＝a1·

（3）由

（2）知，an＝a1·

2n－1．

因为|cp|＝|dp|＝a1·

2p－1，所以cp＝dp或cp＝－dp．

若cp＝－dp，不妨设cp＞0，dp＜0，

则Tp≥a1·

2p－1－（a1·

2p－2＋a1·

2p－3＋…＋a1）＝a1·

2p－1－a1·

（2p－1－1）＝a1＞0．

Rp≤－a1·

2p－1＋（a1·

2p－3＋…＋a1）＝－a1·

2p－1＋a1·

（2p－1－1）＝－a1＜0．

这与Tp＝Rp矛盾，所以cp＝dp．

从而Tp－1＝Rp－1．

由上证明，同理可得cp－1＝dp－1．如此下去，可得cp－2＝dp－2，cp－3＝dp－3．…，c1＝d1．

即对任意正整数k（1≤k≤p），ck＝dk．…………………………16分

数学附加题参考答案及评分标准2015.05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．

A．选修4—1：

几何证明选讲

因为AB是⊙O的切线，所以∠ABD＝∠AEB．

又因为∠BAD＝∠EAB，所以△BAD∽△EAB．

所以＝．…………………………5分

同理，＝.．

因为AB，AC是⊙O的切线，所以AB＝AC．

因此＝，即BE·

CD＝BD·

CE．…………………………10分

B．选修4—2：

矩阵与变换

解：

（1）设直线l上一点M0（x0，y0）