第42炼 利用函数性质与图像比较大小Word文档格式.docx
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单调增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：
自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若
单调减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点：
自变量距离轴越近，其函数值越大
2、函数的交点：
如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。
抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小
三、例题精析：
例1：
对于
上可导的任意函数
，若满足
，则必有（）
A.
B.
C.
D.
思路：
由
可按各项符号判断出
与
异号，即
时，
单调递减，在
上单调递增
，进而
答案：
C
小炼有话说：
相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的符号。
这样做可以简化表达式的运算。
例2：
已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
，若
，则下列关于
的大小关系正确的是（）
A.
C.
观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的
的结构均为
的形式，故与不等式找到联系。
当
，即
，令
，由此可得
上单调递增。
为奇函数，可判定出
为偶函数，关于
轴对称。
，作图观察距离
轴近的函数值小，
与
可作差比较大小：
进而可得：
D
例3：
函数
在定义域
内可导，若
，且当
，设
，则
的大小关系是（）
B.
D.
可判断出
轴对称，再由
，可得
，所以
单调递增，由轴对称的特点可知：
单调递减。
作出草图可得：
距离
越近的点，函数值越大。
所以只需比较自变量距离
的远近即可判断出
B
例4：
已知
是周期为
的偶函数，且在区间
上是增函数，则
的周期为
，所以可利用周期性将自变量放置同一个周期内：
，而由
偶函数及
单调递增，作图可知在区间
中，距离
轴近的函数值小，所以有
周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。
从而代替原来的自变量。
例5：
已知函数
为偶函数，当
时，函数
，
的大小关系为（）
C.
本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析
的性质，由
为偶函数可得：
，从而
轴对称，当
，可计算
单调递减，结合对称性可得距离对称轴
越近，函数值越大，所以
本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对
的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。
所以说题目中有的条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。
例6：
是定义在
上的偶函数，且在区间
上是增函数，令
大小关系为________
为偶函数且在
单调递增可得距离
轴越近，函数值越小。
所以需比较
自变量与
轴距离：
，则需比较
的大小，因为
本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解成这两步分别处理即可。
在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：
一是“求同存异”发现
涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；
二是利用好“桥梁”，比较的关键之处在与
这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与1大小的分界线，而正余弦不大于1，所以
的正切值最大；
另一条是正余弦大小的分界线，
；
而
。
例7：
，且
本题具备同构特点
，但导数
难于分析
单调性，故无法比较
的大小。
换一个角度，可发现
的图像可作，且
具备几何含义，即
与原点连线的斜率。
所以作出
的图像，可观察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由
可得：
例8：
上可导，其导函数为
满足：
，则下列判断一定正确的是（）
A．
B．
C．
D．
联系选项分析条件
即
令
单调递增，而选项中
均不在单增区间中，考虑利用
进行转换。
首先要读懂
说的是
的关系，而
刚好在
的两侧，所以达到一个将
左侧的点转到右侧的作用。
中令
，可代入B,C选项进行比较，C正确。
而A,D两个选项也可以代入进行验证。
由于
，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。
所以对于形如
等轮流求导的式子可猜想隐含
项，进而结合选项进行变形
例9：
定义在
上的函数
为它的导函数，且恒有
成立，则（）
尽管发现
存在轮流求导很难直接发现乘除关系。
看选项不难发现规律：
等，不等号两侧均为
的形式，其导函数为
于是考虑构造条件中的不等式：
上单调递增，根据单调性即可判断四个选项是否正确
例10：
设
均为实数，且
本题单从指对数方面，不便于比较
大小。
进一步可发现
均可视为两个函数的交点，且每一个等式的左侧为同一个函数
，而右侧也都可作图，所以考虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出
的大小
A
三、历年好题精选
1、（2016，内江四模）设函数
在R上存在导数
，在
上
，有
，则以下大小关系一定正确的是（）
2、（2015，福建）若定义在
满足
，其导函数
，则下列结论中一定错误的是（）
3、（2015，陕西文）
，则下列关系式中正确的是（）
C.
4、（2015，天津）已知定义在
为偶函数，记
5、（2014，山东）已知实数
，则下列关系式恒成立的是（）
6、已知
的导函数是
，记
，则（）
7、定义在
上的可导函数
恒成立，
B．
C．
D．
8、（2014陕西省五校联考10）已知
为R上的可导函数，且
均有
，则有（）
A．
B．
C．
D．
习题答案：
1、答案：
解析：
中心对称
上单调递减且
分别比较四个选项，可知在C选项中：
再由
可知
2、答案：
构造函数
上为增函数，因为
，所以可得：
，C错误。
其它选项则无法判断对错
3、答案：
，由
可得
4、答案：
通过数形结合可知
为偶函数时
，作图可知距离
轴越近的点，其函数值越小。
考虑
5、答案：
，观察到四个选项不等号两侧式子同构，所以构造函数，利用单调性即可判断不等式是否成立：
单增，在
单减，所以不恒成立。
同理
均不单调，所以不等式不能恒成立。
为增函数，所以由
6、答案：
可视为
两点连线斜率，而
分别为
曲线在
处的切线斜率，数形结合可得：
7、答案：
题目条件为
，具备轮流求导特点，可猜测所研究的函数为
，从
中也印证这一点：
，进而分析
为在
单调递增，所以
即
8、答案：
对四个选项进行变形可发现所比较的两项结构均呈现
的形式，而条件
，体现轮流求导的特点。
验证：
，刚好和条件找到联系。
单调递减
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