数值积分及其MATLAB实现Word文档下载推荐.doc
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title（'
y=sinx,y=cosx和x=-0.5及x=1.5所围成的平面区域的图形'
）
运行后屏幕显示图形.
求平面区域D的面积S.输入计算面积S的程序
symsx
f1=cos（x）-sin（x）;
f2=-f1;
S1=int（f1,x,-0.5,pi/4）;
S2=int（f2,x,pi/4,1.5）;
S=S1+S2,Sj=double（S）
运行后屏幕显示计算面积的值S及其近似值Sj如下
S=
2*2^（1/2）+sin（1/2）-cos（1/2）-sin（3/2）-cos（3/2）
Sj=
1.36203791318826
9.1.2变限积分的MATLAB符号计算
例9.1.7已知ed，求.
解输入程序：
symsxt
F1=int（exp（t）*sin（2+sqrt（t^3））,x,0）;
F2=int（exp（t）*sin（2+sqrt（t^3））,0,x^2）;
Fi=F1+F2;
dF=diff（Fi）
运行后屏幕显示计算变限积分的导数.
9.2数值积分的思想及其MATLAB程序
9.2.3矩形公式的MATLAB程序
（一）函数sum的调用格式
调用格式一：
sum（X）
调用格式二：
sum（X,DIM）
例9.2.2用MATLAB和矩形公式（9.3）、（9.4）计算ed，并与精确值比较.
解将分成20等份，步长为，输入程序
h=pi/40;
x=0:
h:
pi/2;
y=exp（sin（x））;
z1=sum（y（1:
20））*h,z2=sum（y（2:
21））*h,
运行后屏幕显示矩形公式计算结果分别如下
z1=z2=
3.03643.1713
求定积分的精确值，输入程序
F=int（exp（sin（x））,x,0,pi/2）,Fs=double（F）,
wz1=abs（Fs-z1）,wz2=abs（Fs-z2）
运行后屏幕显示定积分的精确值Fs和与用矩形公式（9.3），（9.4）计算结果的绝对误差wz1、wz2.
（二）函数cumsum的调用格式
cumsum（X）
调用格式二：
cumsum（X,DIM）
例9.2.4用MATLAB的函数sum和cumsum及矩形公式（9.3）、（9.4）计算ed，并与精确值比较.
解将分成20等份，步长为，输入程序如下（注意sum和cumsum的用法）
y=exp（-x）.*sin（x）;
z1=sum（y（1:
20））*h,z2=sum（y（2:
z=cumsum（y）;
z11=z（20）*h,z12=（z（21）-z
（1））*h,
运行后屏幕显示计算结果分别如下
z1=z2=z11=z12=
0.38730.40360.38730.4036
F=int（exp（-x）*sin（x）,x,0,pi/2）
Fs=double（F）,wz1=abs（Fs-z1）,wz2=abs（Fs-z2）
运行后屏幕显示定积分的精确值Fs和用矩形公式（9.3），（9.4）计算结果的绝对误差wz1、wz2分别如下
F=Fs=
1/2*（-1+exp（pi）^（1/2））/exp（pi）^（1/2）0.3961
wz1=wz2=
0.00880.0075
9.3插值型数值积分及其MATLAB程序
9.3.2梯形公式的MATLAB程序
（一）根据梯形公式和估计误差公式自己编写MATLAB程序计算定积分
例9.3.2分别取，用梯形公式计算定积分ed，并与精确值比较.然后观察对计算结果的有效数字和绝对误差的影响.
解编写并输入如下程序
h=pi/8000;
a=0;
b=pi/2;
x=a:
b;
n=length（x）,y=exp（sin（x））;
z1=（y
（1）+y（n））*h/2;
z2=sum（y（2:
n-1））*h;
z8000=z1+z2,
symst
f=exp（sin（t））;
intf=int（f,t,a,b）,Fs=double（intf）,
Juewucha8000=abs（z8000-Fs）
运行后屏幕显示取时，积分区间上等距节点的个数，用梯形公式计算定积分的值z8000和精确值intf的近似值Fs及其绝对误差Juewucha8000.
（二）用函数trapz计算定积分
Z=trapz（Y）
Z=trapz（X,Y）
调用格式三：
Z=trapz（X,Y,DIM）或trapz（Y,DIM）
（三）用函数cumtrapz计算定积分
Z=cumtrapz（Y）
Z=cumtrapz（X,Y）
Z=cumtrapz（X,Y,DIM）或cumtrapz（Y,DIM）
例9.3.4用MATLAB的函数trapz和cumtrapz分别计算ed，精确到，并与矩形公式（9.3），（9.4）比较.
解将分成20等份，步长为，输入程序如下（注意trapz（y）是单位步长,trapz（y）*h=trapz（x,y））：
21））*h,z=（z1+z2）/2
z3=trapz（y）*h,z3h=trapz（x,y）,z3c=cumtrapz（y）*h,
运行后屏幕显示用矩形公式（9.3），（9.4）计算结果z1、z2和二者的平均数z、函数trapz和cumtrapz分别计算结果z3、z3c.
（四）梯形数值积分的MATLAB主程序
梯形数值积分的MATLAB主程序
functionT=rctrap（fun,a,b,m）
n=1;
h=b-a;
T=zeros（1,m+1）;
x=a;
T
（1）=h*（feval（fun,a）+feval（fun,b））/2;
fori=1:
m
h=h/2;
n=2*n;
s=0;
fork=1:
n/2
x=a+h*（2*k-1）;
s=s+feval（fun,x）;
end
T（i+1）=T（i）/2+h*s;
T=T（1:
m）;
例9.3.6用rctrap计算ed，递归14次，并将计算结果与精确值比较.
解输入程序
T=rctrap（@fun,0,pi/2,14）,symst
fi=int（exp（（-t^2）/2）/（sqrt（2*pi））,t,0,pi/2）;
Fs=double（fi）,wT=double（abs（fi-T））
运行后屏幕显示精确值Fs，用rctrap计算的递归值T和T与精确值Fs的绝对误差wT
9.3.3辛普森公式及其误差分析
例9.3.7用辛普森公式计算ed，取个等距节点，并将计算结果与精确值比较，然后再取计算，观察对误差的影响.
解由，得.根据辛普森（Simpson）公式编写并输入下面的程序
a=0;
b=1;
m=10000;
h=（b-a）/（2*m）;
x=a:
y=exp（（-x.^2）./2）./（sqrt（2*pi））;
z1=y
（1）+y（2*m+1）;
z2=2*sum（y（2:
2:
2*m））;
z3=4*sum（y（3:
z=（z1+z2+z3）*h/3,symst,f=exp（（-t^2）/2）/（sqrt（2*pi））;
intf=int（f,t,a,b）,Fs=double（intf）;
Juewucha=abs（z-Fs）
运行后屏幕显示用辛普森公式（9.11）计算定积分的近似值z和精确值intf及其绝对误差Juewucha（取个等距节点）.
例9.3.8估计用辛普森公式计算定积分ed时的误差，取.
解根据估计误差公式，先输入求的程序
symsx,y=exp（sin（x））;
yx4=diff（y,x,4）
运行后输出被积函数的四阶导函数.然后在输入误差估计程序
h=pi/40;
0.00001:
yx4=sin（x）.*exp（sin（x））-4*cos（x）.^2.*exp（sin（x））+3*sin（x）.^2.*exp（sin（x））-6*sin（x）.*cos（x）.^2.*exp（sin（x））+cos（x）.^4.*exp（sin（x））;
juyx4=abs（yx4）;
RS=（h^4）*（pi/2）*max（juyx4）/180
运行后屏幕显示误差估计值
RS=
3.610450295892220e-006
9.3.4辛普森（Simpson）数值积分的MATLAB程序
quad（‘fun’,a,b）
quad（‘fun’,a,b,tol）
[Q,FCNT]=quad（...）
调用格式四：
quad（‘fun’,a,b,tol,TRACE）
调用格式五：
quad（‘fun’,a,b,tol,TRACE,P1,P2,…）
复合辛普森（Simpson）数值积分的MATLAB主程序
functiony=comsimpson（fun,a,b,n）
z1=feval（fun,a）+feval（fun,b）;
m=n/2;
h=（b-a）/（2*m）;
z2=0;
z3=0;
x2=0;
x3=0;
fork=2:
2*m
x2=x+k*h;
z2=z2+2*feval（fun,x2）;
fork=3:
x3=x+k*h;
z3=z3+4*feval（fun,x3）;
y=（z1+z2+z3）*h/3;
例9.3.9用comsimpson.m和quad.m分别计算定积分ed，取精度为，并与精确值比较.
[Q1,FCNT14]=quad（@fun,0,1,1.e-4,3）,
Q
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