初中数学等腰三角形存在性问题含答案Word文件下载.docx
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显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点
为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：
AH=3，BH=2
设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-x
13
解得：
x=
6
19
故C5坐标为（,0）
而对于本题的C5，或许代数法更好用一些．
代数法】表示线段构相等
1）表示点：
设点C5坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），
2）表示线段：
AC5（m1）（01），BC5（m4）（03）
3）分类讨论：
根据AC5BC5，可得：
（m1）212（m4）232，
4）求解得答案：
23
故C5坐标为
23,0
【小结】几何法：
（1）“两圆一线”作出点；
（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．
代数法：
（1）表示出三个点坐标A、B、C；
（2）由点坐标表示出三条线段：
AB、AC、BC；
（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
问题总结：
1）两定一动：
动点可在直线上、抛物线上；
2）一定两动：
两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；
3）三动点：
分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．
2018泰安中考】
如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A（4,0）、B（2,0），交y轴
于点C（0,6），在y轴上有一点E（0,2），连接AE．
1）求二次函数的表达式；
2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；
3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．
11，
与对称轴交点即为所求P点．
分析】
1）y3x23x6；
42
2）可用铅垂法，当点D坐标为（2,6）时，△ADE面积最大，最大值为14；
3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）
1当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．
∵AE=25，∴AP1=25，又AH=3，∴P1H
故P1（1,11）、P2（1,11）．
2当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，
故P5（1,1）．
P5（1,1）．
P1
H
P4
Bx
补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．
【2019白银中考（删减）】
如图，抛物线yax2bx4交x轴于A（3,0），B（4,0）两点，与y轴交于点C，连接AC，
BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
C
P
1）y1x21x4；
33
2）①当CA=CQ时，∵CA=5，∴CQ=5，考虑到CB与y轴夹角为45°
，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H，
则CHQH52，故Q点坐标为52,452．
222
②当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4），
AQ（m3）2（m40）2，
即（m3）（m40）5，解得：
m=1或0（舍），
故Q点坐标为（1，3）．
3当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在．
综上所述，Q点坐标为52,452或（1，3）．
22
2019盐城中考删减】
1）A、B两点横坐标分别为1、2；
2）求k的值等价于求B点坐标，
B点横坐标始终为2，故点B可以看成是直线x=2上的一个动点，满足△OAB是以OA为腰的等腰三角形，
又A点坐标为（1，2），故OA5
1当OA=OB时，即OB5，
记直线x=2与x轴交点为H点，
∵OH=2，∴BH=1，
故B点坐标为（2，1）或（2，-1），k=-1或-3．②当AO=AB时，易知B点坐标为（2，0），k=-2．综上所述，k的值为-1或-2或-3．
【2018贵港中考（删减）】
如图，已知二次函数yax2bxc的图像与x轴相交于A（1,0），B（3,0）两点，与y轴相交于点C（0,3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PHx轴于点H，与线段BC交
于点M，连接PC．当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
1）yx22x3；
2）①当PM=PC时，（特殊角分析）考虑∠PMC=45°
，∴∠PCM=45°
，即△PCM是等腰直角三角形，P点坐标为（2，-3）；
2当MP=MC时，（表示线段列方程）
设P点坐标为（m,m22m3），则M点坐标为（m,m3），故线段PM（m3）（m22m3）m23m故点M作y轴的垂线，垂足记为N，则MN=m，
考虑△MCN是等腰直角三角形，故MC2m，
m23m2m，解得m32或0（舍），
故P点坐标为
（32,2
42）．
【2019眉山中考删减】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y4x2bxc经过点A（5,0）和点B（1,0）．
9
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作DMNDBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得DMN为等腰三角形？
若存在，求出AN的长；
若不存在，请说明理由．
x
1）y4x216x20，顶点D坐标为（2,4）；
999
2）考虑到∠DAB=∠DBA=∠DMN，即有△BMD∽△ANM（一线三等角）
①当MD=MN时，有△BMD≌△ANM，
可得AM=BD=5，故AN=BM=1；
②当NM=ND时，则∠NDM=∠NMD=∠DAB，
3
AN的值为1或55．
综上，
当DM=DN时，∠DNM=∠DMN=∠DAB，显然不成立，故不存在这样的点M．
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【2019葫芦岛中考（删减）】
如图，直线yx4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc经过B，C
两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接AM交BC于点D，当PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
1）yx23x4；
2）①考虑到∠DPM=45°
，当DP=DM时，即∠DMP=45°
，直线AM：
y=x+1，
联立方程：
x3x4x1，
x13，x21（舍）．
此时t=1．
②当PD=PM时，∠PMD=∠PDM=67.5°
，∠MAB=22.5°
，
考虑tan∠22.5°
=21，直线AM：
x23x4（21）x
21
x1
52，x21（舍）．
此时t=2
1．
综上所述，t的值为
附：
tan22.5=°
21．
可减轻计算量．
总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，
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