名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习22函数的定义域与值域含答案解析Word文档格式.docx

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【解析】1-x（1-x）=x2-x+1=+≥.因此，有0<

≤，所以f（x）的最大值为.

5.（必修1P36习题13改编）已知函数f（x）=x2的值域为{1，4}，则这样的函数有　　　　个.

【答案】9

【解析】定义域为两个元素有{-2，-1}，{-2，1}，{-1，2}，{1，2}；

定义域为三个元素有{-2，-1，1}，{-2，-1，2}，{-1，1，2}，{-2，1，2}；

定义域为四个元素有{-2，-1，1，2}，故这样的函数一共有9个.

1.函数的定义域

（1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.

（2）分式中分母应不等于0；

偶次根式中被开方数应为非负数，奇次根式中被开方数为一切实数；

零指数幂中底数不等于0.

（3）对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1，含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.

（4）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

2.求函数值域的主要方法

（1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过观察法求得值域.

（2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用配方法求值域.

（3）分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用分离常数法求值域；

分子、分母中含有二次项的有理函数，常用判别式法求值域（主要适用于定义域为R的函数）.

（4）单调函数常根据函数的单调性求值域.

（5）很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用基本不等式求值域.

（6）有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域.

（7）只要是能求导数的函数常采用导数的方法求值域.

【要点导学】

要点导学　各个击破

　求函数的定义域

例1　

（1）函数y=的定义域是　　　　.

（2）若函数f（x）=ln，则函数g（x）=f+f的定义域是　　　　.

【思维引导】

（1）分式函数中分母不等于零；

偶次根式函数，被开方式大于或等于0；

（2）对数式中真数大于0，列出不等式组，求解，对应法则“f”作用下的是f（x）的定义域内的值，同时要记住函数的定义域要用集合或区间表示.

（1）（-3，2）　

（2）∪

【解析】

（1）由函数解析式可知6-x-x2>

0，

即x2+x-6<

0，故-3<

x<

2.

（2）由>

0，得f（x）的定义域为-2<

2，

故解得-4<

-或<

4.

【精要点评】

（1）求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集.

（2）已知f（x）的定义域是[a，b]，求f（g（x））的定义域，是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f（g（x））的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b].

【高频考点·

题组强化】

1.（2016·

苏州期中）函数y=ln（x2-x-2）的定义域是　　　　.

（-∞，-1）∪（2，+∞）

【解析】由题意知，x2-x-2>

0，解得x>

2或x<

-1，故函数的定义域为（-∞，-1）∪（2，+∞）.

2.函数f（x）=的定义域是　　　　.

（-1，4]

【解析】两个分段区间是（-1，1]和（1，4]，取它们的并集得所求函数的定义域为（-1，4].

3.（2014·

山东卷）函数f（x）=的定义域为　　　　　　　　.

【答案】∪（2，+∞）

【解析】由题意得解得所以f（x）的定义域为∪（2，+∞）.

4.（2014·

珠海模拟）函数y=的定义域为　　　　.

【解析】由题意得解得x>

-，所以函数的定义域为.

5.已知函数f（x）的定义域是[3，10]，则函数f（x+1）的定义域是　　　　.

【答案】[2，9]

【解析】因为f（x）的定义域是[3，10]，所以使f（x+1）有意义的条件是3≤x+1≤10，即2≤x≤9，所以函数f（x+1）的定义域是[2，9].

　求函数的值域

微课1

●问题提出

函数的值域取决于定义域和对应法则，无论采取什么方法求函数的值域，都应先考虑其定义域.有时我们需要求函数在某个区间上的值域，结合函数图象，根据函数图象的分布得出函数的值域.那么，求函数值域的方法有哪些呢?

●典型示例

例2　求下列函数的值域.

（1）y=3x2-x+2，x∈[1，3]；

（2）y=；

（3）y=x+4；

（4）y=.

【思维导图】

【规范解答】

（1）（配方法）因为y=3x2-x+2=3+，

所以函数y=3x2-x+2在[1，3]上单调递增.

当x=1时，原函数取得最小值4；

当x=3时，原函数取得最大值26.

所以函数y=3x2-x+2（x∈[1，3]）的值域为[4，26].

（2）（分离常数法）y===3+，

因为≠0，所以3+≠3，

　　所以函数y=的值域为{y|y≠3}.

（3）（换元法）设t=，t≥0，则x=1-t2，

所以原函数可化为y=1-t2+4t=-（t-2）2+5（t≥0），所以y≤5，

所以原函数的值域为（-∞，5].

（4）（基本不等式法）y===x+=x-++，

因为x>

，所以x->

0，所以x-+≥2=，

当且仅当x-=，即x=时取“=”.

所以y≥+，即原函数的值域为.

【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解.二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式的方法求解.

●总结归纳

（1）首先我们要掌握初中学过的基本初等函数y=kx，y=kx+b（k≠0），y=ax2+bx+c（a≠0），y=（k≠0）的值域.

（2）求函数值域的常用方法有直接法、逆求法、换元法、配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法等.

●题组强化

1.（2016·

苏州期中）函数f（x）=sinx-cosx-2（x>

0）的值域是　　　　.

【答案】[-4，0]

【解析】因为f（x）=sinx-cosx-2=2sin-2，且x>

0，所以sin∈[-1，1]，

所以函数f（x）的值域是[-4，0].

2.（2015·

扬州调研）函数y=x-的值域为　　　　　.

【解析】方法一：

（换元法）令=t，t≥0，x=，于是y=-t=-（t+1）2+1，

由于t≥0，所以y≤，故函数的值域为.

方法二：

（单调性法）函数的定义域为，且函数y=x-在上单调递增，

所以y≤，故函数的值域为.

海门中学模拟）函数f（x）=的值域是　　　　.

（-∞，2]

【解析】当0<

1时，值域为（-∞，0）；

当x≥1时，值域为（-∞，2].故原函数的值域为（-∞，2].

4.（2015·

南通中学模拟）函数y=的值域是　　　　　　.

（0，5]

【解析】因为2x2-4x+3=2（x-1）2+1≥1，所以0<

≤1，所以0<

y≤5，所以值域为（0，5].

5.（2014·

青阳中学模拟）若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是　　　　　.

【解析】因为f（x）=x2-3x-4=-，所以f=-.又f（0）=f（3）=-4，

故由二次函数图象可知≤m≤3.

　已知函数定义域（值域）求参数的取值范围

例3　若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围.

【思维引导】可先求出使函数有意义的不等式（组），再对其中的参数进行分类讨论即可.

【解答】由题意知当x∈R时，（a2-1）x2+（a-1）x+≥0恒成立.

①当a2-1=0，即时，得a=1，此时有（a2-1）x2+（a-1）x+=1.

可知当x∈R时，（a2-1）x2+（a-1）x+≥0恒成立.

②当a2-1≠0，即时，

有解得1<

a≤9.

综上所述，实数a的取值范围是[1，9].

【精要点评】解决本题的关键是理解函数的定义域是R的意义，并会对函数式进行分类讨论，特别要注意不要遗漏对第一种情况a2-1=0的讨论.

变式　

（1）（2014·

常州一中模拟）若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　.

（2）若函数y=lg（x2+2x+m）的值域是R，则实数m的取值范围是　　　　.

（1）　

（2）（-∞，1]

（1）f（x）的定义域为R，

即mx2+4mx+3≠0恒成立.

①当m=0时，符合题意；

②当m≠0时，Δ=（4m）2-4×

m×

3<

即m（4m-3）<

0，所以0<

m<

.

综上所述，实数m的取值范围是.

（2）由题意可知x2+2x+m能取遍一切正实数，从而可知Δ=4-4m≥0，则m≤1.

　新定义下的函数值域创新问题

例4　已知函数fM（x）的定义域为实数集R，满足fM（x）=（M是R的非空真子集）.在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=，则F（x）=的值域为　　　　　　.

【思维引导】求F（x）的值域确定fA（x），fB（x）以及（x）的取值探讨x与A，B，A∪B的关系.

【答案】{1}

【解析】因为A，B是R的两个非空真子集，且A∩B=，

画出Venn图如图所示，

　（例4）

则实数x与集合A，B的关系可分为x∈A，x∈B，xA且xB三种.

①当x∈A时，根据定义，得fA（x）=1.

因为A∩B=，

所以xB，故fB（x）=0.

又因为A（A∪B），则必有x∈A∪B，

所以fA∪B（x）=1，

所以F（x）===1.

②当x∈B时，根据定义，得fB（x）=1.

所以xA，故fA（x）=0.

又因为B（A∪B），则必有x∈A∪B，

③当xA且xB时，根据定义，

得fA（x）=0，fB（x）=0.

由图可知，显然xA∪B，

故fA∪B（x）=0，

综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}.

（1）如果函数f（x）的定义域为A，那么f（g（x））的定义域是使函数g（x）∈A的x的取值范围.

（2）如果f（g（x））的定义域为A，那么函数f（x）的定义域是函数g（x）的值域.（3）f（g（x））与f（h（x））联系的纽带是g（x）与h（x）的值域相同.本题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算，所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合，再根据图形的直观性进行分类，简单又直接.

变式　把本例中“A∩B=”变为“x∈A∩B”，其他条件不变，试求之.

【解答】当x∈A∩B时，

因为（A∩B）（A∪B