优秀的近世代数期末考试总复习Word文档下载推荐.doc
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二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合;
,则有---------。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a的逆元是-------。
8、设和是环的理想且,如果是的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-------。
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
1、设置换和分别为:
,,判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明:
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)是不是群,为什么?
四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)
1、设是群。
证明:
如果对任意的,有,则是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集()是子群。
A、B、C、D、
2、下面的代数系统(G,*)中,()不是群
A、G为整数集合,*为加法B、G为偶数集合,*为加法
C、G为有理数集合,*为加法D、G为有理数集合,*为乘法
3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?
()
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|
4、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),=(1324),则=()
A、B、C、D、
5、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。
A、不可能是群 B、不一定是群
C、一定是群 D、是交换群
1、凯莱定理说:
任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。
5、A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。
6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。
7、叫做域的一个代数元,如果存在的-----使得。
8、是代数系统的元素,对任何均成立,则称为---------。
9、有限群的另一定义:
一个有乘法的有限非空集合作成一个群,如果满足对于乘法封闭;
结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------。
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(12)},写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合,“”是数的乘法,则“”是E中的运算,(E,)是一个代数系统,问(E,)是不是群,为什么?
3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。
1、若<
G,*>
是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x=b。
2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:
a〜b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题
1、6阶有限群的任何子群一定不是()。
A、2阶 B、3阶C、4阶 D、6阶
2、设G是群,G有()个元素,则不能肯定G是交换群。
A、4个B、5个C、6个D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。
A、偶数 B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格()
A、(N,) B、(Z,)
C、({2,3,4,6,12},|(整除关系)) D、(P(A),)
5、设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A、
(1),(123),(132)B、12),(13),(23)
C、
(1),(123)D、S3中的所有元素
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。
2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则----------。
3、区间[1,2]上的运算的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有-----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群中元素的阶为,如果,那么与存在整除关系为--------。
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?
2、S1,S2是A的子环,则S1∩S2也是子环。
S1+S2也是子环吗?
3、设有置换,。
1.求和;
2.确定置换和的奇偶性。
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
近世代数模拟试题四
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×
A.2 B.5
C.7 D.10
2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射
:
x→x+2,x∈R,
则是从A到B的()
A.满射而非单射 B.单射而非满射
C.一一映射 D.既非单射也非满射
3.设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()
A.
(1),(123),(132) B.(12),(13),(23)
C.
(1),(123) D.S3中的所有元素
4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有()个。
A.2 B.4
C.6 D.8
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是()
A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法
B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法
C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:
m,n∈Z,mn=0
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”:
m,n∈Z,mn=1
二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
7.设(G,·
)是一个群,那么,对于a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1=
___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于a∈G,则元素a的阶只可能是___________。
10.在3次对称群S3中,设H={
(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___________。
12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。
13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是由多项式x生成的主理想,则(x)=_____________
14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是___________
15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是___________。
16.设Z为整数加群,Zm为以m为模的剩余类加群,是Z到Zm的一个映射,其中
:
k→[k],k∈Z,
验证:
是Z到Zm的一个同态满射,并求的同态核Ker。
17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题(本大题共3小题,第19、20小题各10分,第21小题5分,共25分)
19.设G={a,b,c},G的代数运算“”
由右边的运算表给出,证明:
(G,)作成一个群。
a
b
c
20.设
已知R关于矩阵的加法和乘法作