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1、二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有-。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，则e称为环R的-。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个-。4、偶数环是-的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个-。6、每一个有限群都有与一个置换群-。7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是-，元a的逆元是-。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：

2、，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。3、设集合，定义中运算“”为ab=（a+b）（modm）,则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。近世代数模拟试题二一、 单项选择题二、 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶

3、数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-。4、a的阶若是一个有限整数n，那么

4、G与-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,（1 2），写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391, 求（a,b）, a,b

5、 和p, q。1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、 （P（A）,）5、设S3（1），（

6、12），（13），（23），（123），（132），那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（ ）A、（1），（123），（132） B、12），（13），（23） C、（1），（123） D、S3中的所有元素1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-。3、区间1，2上的运算的单位元是-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在

7、整除关系为-。1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。近世代数模拟试题四一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AA.2 B.5 C.7 D.102.设ABR（实数集），如

8、果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3（1），（12），（13），（23），（123），（132），那么，在S3中可以与（123）交换的所有元素有（ ）A.（1），（123），（132）B.（12），（13），（23）C.（1），（123）D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ ）个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（ ）A.整系数多项式全体Zx关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn（Q）关于矩阵的加法与乘法C.整数集

9、Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， nZ， mn0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m， nZ， mn1二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。6.设“”是集合A的一个关系，如果“”满足_，则称“”是A的一个等价关系。7.设（G，）是一个群，那么，对于a，bG，则abG也是G中的可逆元，而且（ab）1_。8.设（23）（35），（1243）（235）S5，那么_（表示成若干个没有公共数字的循环置换之积）。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于aG，则元素a的阶只可能是_。10.在3次对称群S3中，设H（

10、1），（123），（132）是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素（12）H_。11.设Z60，1，2，3，4，5是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是_。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是_。13.设Zx是整系数多项式环，（x）是由多项式x生成的主理想，则（x）_14.设高斯整数环Ziabi|a，bZ，其中i21，则Zi中的所有单位是_15.有理数域Q上的代数元+在Q上的极小多项式是_。16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中：kk，kZ，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z60，1，2，3，4，5的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设Ga，b，c，G的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：（G，）作成一个群。abc20.设 已知R关于矩阵的加法和乘法作