最新考研高等数学模拟试题含参考答案Word文档格式.docx
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⑴
.
7．利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.
因为是的6次多项式，所以
计算出：
，
故
8．计算曲线y=coshx上点（0，1）处的曲率.
当x=0时，，
故
9．设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？
因弹性的经济意义为：
当自变量x变动1%，则其函数值将变动.
故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×
10%=8%，0.8×
20%=16%.
10．设，且,在[a，b]内存在，证明：
在（a，b）内至少有一点，使.
证明：
在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使.
11．利用洛必达法则求下列极限：
⑴;
⑵;
⑶;
⑷;
⑸;
⑹;
⑺;
⑻;
⑼;
⑽;
⑾;
⑿;
⒀;
⒁;
⒂;
⒃;
⒄.
⑴原式=.
⑵原式=.
⑶原式=.
⑷原式=.
⑸原式=.
⑹原式=.
⑺原式=.
⑻原式=.
⑼原式
⑽原式=
令
∴原式=.
⑾令，则
⑿令，则
⒀原式
⒁原式
⒂原式
⒃令，则
⒄令，则
12．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:
（1）
因为所以此函数在处连续.
又
，故此函数在处不可导.
（2）
因为故函数在处连续.
又,
故函数在处可导.
（3）
因为
故函数在x=1处连续.
，故函数在x=1处不可导.
13．计算下列导数：
原式.
原式
14．解:
由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是
且
解得.
15．求下列极限：
16．讨论下列广义积分的敛散性：
;
原式=
故该广义积分当时收敛；
时发散.
综上所述，当k<
1时，该广义积分收敛，否则发散.
17．证明：
无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.
如果，那么对于（使）,存在x0，当时
即
成立，显然与同进收敛或发散.
如果，则有,显然收敛,则亦收敛.
如果，则有，显然发散，则亦发散.
习题五
18．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
（1）r=a（1+cosθ）及r=2acosθ;
由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．
（11）
（2）及．
如图12，解方程组
得cosθ=0或,
即或．
（12）
．
19．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？
如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·
6·
dx
（19）
设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为
dw=x·
60gdx=60gxdx．
于是将水全部抽出所作功为
20．判定下列级数的敛散性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
从而，故级数发散．
从而，故原级数收敛，其和为．
（3）此级数为的等比级数，且|q|<
1，故级数收敛．
（4）∵，而，故级数发散．
21．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．
（1）；
（2）
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
（1）∵
而收敛，由比较审敛法知收敛．
（2）∵
而发散，由比较审敛法知，原级数发散．
（3）∵
而收敛，故也收敛．
（4）∵
而收敛，故收敛．
（5）当a>
1时，，而收敛，故也收敛．
当a=1时，，级数发散．
当0<
a<
1时，，级数发散．
综上所述，当a>
1时，原级数收敛，当0<
a≤1时，原级数发散．
（6）由知而发散，由比较审敛法知发散．
22．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：
（1）f（x）=ln（2+x）；
（2）f（x）=cos2x；
（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）；
（4）；
（6）；
（1）
由于，（-1<
x≤1）
故，（-2≤x≤2）
因此，（-2≤x≤2）
由，（-∞<
x<
+∞）
得
所以
，（-∞<
（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）
由，（-1≤x≤1）
（-1≤x≤1）
（4）
由于（-1≤x≤1）
（5）
（6）由，x∈（-∞,+∞）
得，x∈（-∞,+∞）
23．计算对坐标的曲线积分：
（1），Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；
（2），Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．
解:
（1）Γ：
即
其参数方程为：
t：
0→2π
故：
（2）如图11-3所示．
图11-3
Γ=Γ1+Γ2+Γ3．
Γ1：
t：
0→，
又根据轮换对称性知
24．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：
（2）；
（3）沿在右半平面的路径；
（4）沿不通过原点的路径；
证：
（1）P=x-y，Q=y-x．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关．取L为从（0,0）到（1,1）的直线段，则L的方程为：
y=x，x：
0→1．于是
（2）P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，，有，所以积分与路径无关．
取L为从（1,2）→（1,4）→（3,4）的折线，则
（3），，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关．
取L为从（1,1）到（1,2）的直线段，则
（4），，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，
取L为从（1,0）→（6,0）→（6,8）的折线，则
25．试证明：
如果函数满足条件，那么这函数没有极值.
，令，得方程，
由于，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.
26．在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：
方程两端对x求导：
代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.
（）
得.
（）式两端对x再求导得
将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
27．求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
点（4，-3，5）到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.
28．在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.
设此点为M（0，0，z），则
解得
即所求点为M（0，0，）.
29．把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,,和.
30．已知向量a和b互相垂直，且.计算：
（1）|（a＋b）×
（a－b）|；
（2）|（3a＋b）×
（a－2b）|.
31．求过点M0（1,7,-3），且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.
所求平面的法向量可取为
故平面方程为：
x-1+7（y-7）-3（z+3）=0
即x+7y-3z-59=0
32．求下列直线与平面的交点：
（1）,2x+3y+z-1=0;
（2）,x+2y-2z+6=0.
（1）直线参数方程为
代入平面方程得t=1
故交点为（2，-3，6）.
（2）直线参数方程为
代入平面方程解得t=0.
故交点为（-2，1，3）.
33．判断下列函数在原点O（0，0）处是否连续：
（1）由于
又，且,
故.
故函数在O（0,0）处连续.
故O（0,0）是z的间断点.
（3）若P（x,y）沿直线y=x趋于（0，0）点，则
若点P（x,y）沿直线y=-x趋于（0，0）点，则
故不存在.故函数z在O（0，0）处不连续.
34．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：
（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以
（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故
35．选择坐标变换计算下列各题：
（1）令则积分区域Ω变为Ω：
且
（2）坐标变换同
（1）。
36．设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。
（1）D由所围成；
（2）D是半椭圆形闭区域：
（3）D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ（0<
b）之间的闭区域。
（1）闭区域D如图10-31所示。
图10-31
闭区域D的面积A为
所求重心为.
（2）因为闭区域D对称于y轴，所以=0,又闭区域D的面积。
所以：
（3）闭区域D如图10-32所示：
图10-32
由于闭区域D关于x轴对称，所以,
所求重心为
37．已知求.
当时，
当时，
综上所述知
38．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
由得代入方程得
故是方程的解.
代入方程得.
故不是方程的解.
代入方程得
39．xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？
yOz面上的呢？
zOx面上的呢？
答:
在xOy面上的点，z=0;
在yOz面上的点，x=0;
在zOx面上的点，y=0.
40．求下列各微分方程的通解：
分离变量,得
积分得
得.
分离变量，得
得通解：
得通解为.
得通解为
即为通解.
得通解为：
.
41．证明:
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