专题24 数学思想方法教学案高考理数二轮复习精品资料解析版文档格式.docx

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可用函数与方程思想解决的相关问题．

1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

（1）借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

（2）在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．

2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：

（1）解方程或解不等式；

（2）带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；

（3）需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；

（4）构造方程或不等式求解问题．

二、数形结合的数学思想

数形结合的数学思想：

包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：

一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；

二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：

数形结合思想解决的问题常有以下几种：

（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；

（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；

（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；

（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；

（5）构建立体几何模型研究代数问题；

（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；

（7）构建方程模型，求根的个数；

（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．

常见适用数形结合的两个着力点是：

以形助数常用的有：

借助数轴；

借助函数图象；

借助单位圆；

借助数式的结构特征；

借助于解析几何方法.

以数助形常用的有：

借助于几何轨迹所遵循的数量关系；

借助于运算结果与几何定理的结合。

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；

（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1．数形结合的途径

（1）通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。

这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；

值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）

实现数形结合，常与以下内容有关：

①实数与数轴上的点的对应关系；

②函数与图象的对应关系；

③曲线与方程的对应关系；

④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；

⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

。

常见方法有：

①解析法：

建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。

②三角法：

将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。

③向量法：

将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。

把抽象的几何推理化为代数运算。

特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。

（2）通过转化构造数题形解

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2

与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。

另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

常见的转换途径为：

①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。

②利用平面向量的数量关系及模

的性质来寻求代数式性质。

（3）构造几何模型。

通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将

与正方形的面积互化，将

与体积互化，将

与勾股定理沟通等等。

（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离

，点到直线的距离

，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。

2．数形结合的原则

（1）等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

（2）双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。

三、分类讨论的思想

分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．

1．由数学概念引起的分类讨论：

有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．

2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：

有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．

3．由数学运算要求引起的分类讨论：

如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．

4．由图形的不确定性引起的分类讨论：

有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；

点、线、面的位置关系等．

5．由参数的变化引起的分类讨论：

某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

6．由实际意义引起的讨论：

此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．

四、化归与转化的思想

1、化归与转化的思想方法

解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，是自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．

2、化归与转化的思想方法应用的主要方向

化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．

3、等价转化和非等价转化

转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；

在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．

考点一、运用函数与方程思想解决字母（或式子）的求值或取值范围问题

例1．若函数f（x）＝

（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是________．

解析　由题意f（x）的图象如右图，则

∴1＜a≤2.

答案　（1，2]

【变式探究】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（　　）

A．y＝

x3－

x2－x

B．y＝

x3＋

x2－3x

C．y＝

x3－x

D．y＝

x2－2x

考点二、运用函数与方程思想解决方程问题

例2、设函数f（x）＝

则满足f（f（a））＝2f（a）的a取值范围是（　　）

A.

B．[0，1]

C.

D．[1,＋∞）

答案　C

【规律方法】

研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：

一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；

二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉