初中数学中考导练讲义第10讲一次函数Word文件下载.docx
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b>
b<
b=0
(1)一次函数y=kx+b中,k确定了倾斜方向和倾斜程度,b确定了与y轴交点的位置.
(2)比较两个一次函数函数值的大小:
性质法,借助函数的图象,也可以运用数值代入法.
已知函数y=-2x+b,函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”).
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
3.一次函数与坐标轴交点坐标
(1)交点坐标:
求一次函数与x轴的交点,只需令y=0,解出x即可;
求与y轴的交点,只需令x=0,求出y即可.故一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点是,与y轴的交点是(0,b);
(2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象恒过点(0,0).
一次函数y=x+2与x轴交点的坐标是(-2,0),与y轴交点的坐标是(0,2).
知识点二:
确定一次函数的表达式
4.确定一次函数表达式的条件
(1)常用方法:
待定系数法,其一般步骤为:
①设:
设函数表达式为y=kx+b(k≠0);
②代:
将已知点的坐标代入函数表达式,解方程或方程组;
③解:
求出k与b的值,得到函数表达式.
(2)常见类型:
①已知两点确定表达式;
②已知两对函数对应值确定表达式;
③平移转化型:
如已知函数是由y=2x平移所得到的,且经过点(0,1),则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要两组条件,而确定正比例函数的表达式,只需一组条件即可.
(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标,可快速解题.如:
已知一次函数经过点(0,2),则可知b=2.
5.一次函数图象的平移
规律:
①一次函数图象平移前后k不变,或两条直线可以通过平移得到,则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位,则b值增大h;
若向下平移h单位,则b值减小h.
将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度,所得图象的函数关系式为y=-2x+2.
知识点三:
一次函数与方程(组)、不等式的关系
6.一次函数与方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象与x轴交点的横坐标.
(1)已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为(1,0).
(2)一次函数y=-3x+12中,当x>4时,y的值为负数.
7.一次函数与方程组
二元一次方程组的解两个一次函数y=k1x+b和y=k2x+b图象的交点坐标.
8.一次函数与不等式
(1)函数y=kx+b的函数值y>0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集
(2)函数y=kx+b的函数值y<0时,自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集
知识点四:
一次函数的实际应用
9.一般步骤
(1)设出实际问题中的变量;
(2)建立一次函数关系式;
(3)利用待定系数法求出一次函数关系式;
(4)确定自变量的取值范围;
(5)利用一次函数的性质求相应的值,对所求的值进行检验,是否符合实际意义;
(6)做答.
一次函数本身并没有最值,但在实际问题中,自变量的取值往往有一定的限制,其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路:
确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
10.常见题型
(1)求一次函数的解析式.
(2)利用一次函数的性质解决方案问题.
【章节典例解析】
【例题1】小明从家到学校,先匀速步行到车站,等了几分钟后坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校,小明从家到学校行驶路程s(m)与时间t(min)的大致图象是( )
A.B.C.D.
【分析】根据题意判断出S随t的变化趋势,然后再结合选项可得答案.
【解答】解:
小明从家到学校,先匀速步行到车站,因此S随时间t的增长而增长,
等了几分钟后坐上了公交车,因此时间在增加,S不增长,
坐上了公交车,公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校,因此S又随时间t的增长而增长,
故选:
C.
【点评】此题主要考查了函数图象,关键是正确理解题意,根据题意判断出两个变量的变化情况.
【例题2】
(2017山东聊城)端午节前夕,在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中,甲、乙两队在500米的赛道上,所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是( )
A.乙队比甲队提前0.25min到达终点
B.当乙队划行110m时,此时落后甲队15m
C.0.5min后,乙队比甲队每分钟快40m
D.自1.5min开始,甲队若要与乙队同时到达终点,甲队的速度需要提高到255m/min
【考点】E6:
函数的图象.
【分析】观察函数图象可知,函数的横坐标表示时间,纵坐标表示路程,根据图象上特殊点的意义即可求出答案.
A、由横坐标看出乙队比甲队提前0.25min到达终点,故A不符合题意;
B、乙AB段的解析式为y=240x﹣40,当y=110时,x=;
甲的解析式为y=200x,当x=时,y=125,当乙队划行110m时,此时落后甲队15m,故B不符合题意;
C、乙AB段的解析式为y=240x﹣40乙的速度是240m/min;
甲的解析式为y=200x,甲的速度是200m/min,0.5min后,乙队比甲队每分钟快40m,故C不符合题意;
D、甲的解析式为y=200x,当x=1.5时,y=300,甲乙同时到达÷
(2.25﹣1.5)=266m/min,故D符合题意;
D.
【例题3】
(2017湖北随州)如图,∠AOB的边OB与x轴正半轴重合,点P是OA上的一动点,点N(3,0)是OB上的一定点,点M是ON的中点,∠AOB=30°
,要使PM+PN最小,则点P的坐标为 (,) .
【考点】PA:
轴对称﹣最短路线问题;
D5:
坐标与图形性质.
【分析】作N关于OA的对称点N′,连接N′M交OA于P,则此时,PM+PN最小,由作图得到ON=ON′,∠N′ON=2∠AON=60°
,求得△NON′是等边三角形,根据等边三角形的性质得到N′M⊥ON,解直角三角形即可得到结论.
作N关于OA的对称点N′,连接N′M交OA于P,
则此时,PM+PN最小,
∵OA垂直平分NN′,
∴ON=ON′,∠N′ON=2∠AON=60°
,
∴△NON′是等边三角形,
∵点M是ON的中点,
∴N′M⊥ON,
∵点N(3,0),
∴ON=3,
∴OM=1.5,
∴PM=,
∴P(,).
故答案为:
(,).
【例题4】
(2017湖北随州)在一条笔直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B两地之间,甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地,乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地,在甲车出发至甲车到达C地的过程中,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.下列结论:
①甲车出发2h时,两车相遇;
②乙车出发1.5h时,两车相距170km;
③乙车出发2h时,两车相遇;
④甲车到达C地时,两车相距40km.其中正确的是 ②③④ (填写所有正确结论的序号).
【考点】FH:
一次函数的应用.
【分析】①观察函数图象可知,当t=2时,两函数图象相交,结合交点代表的意义,即可得出结论①错误;
②根据速度=路程÷
时间分别求出甲、乙两车的速度,再根据时间=路程÷
速度和可求出乙车出发1.5h时,两车相距170km,结论②正确;
③根据时间=路程÷
速度和可求出乙车出发2h时,两车相遇,结论③正确;
④结合函数图象可知当甲到C地时,乙车离开C地0.5小时,根据路程=速度×
时间,即可得出结论④正确.综上即可得出结论.
①观察函数图象可知,当t=2时,两函数图象相交,
∵C地位于A、B两地之间,
∴交点代表了两车离C地的距离相等,并不是两车相遇,结论①错误;
②甲车的速度为240÷
4=60(km/h),
乙车的速度为200÷
(3.5﹣1)=80(km/h),
∵÷
(60+80)=1.5(h),
∴乙车出发1.5h时,两车相距170km,结论②正确;
③∵÷
(60+80)=2(h),
∴乙车出发2h时,两车相遇,结论③正确;
④∵80×
(4﹣3.5)=40(km),
∴甲车到达C地时,两车相距40km,结论④正确.
综上所述,正确的结论有:
②③④.
【例题5】
(2017黑龙江佳木斯)为了推动“龙江经济带”建设,我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类,促进经济发展.2017年春,预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数),青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍,经预算,种植西红柿的利润可达1万元/公顷,青椒1.5万元/公顷,马铃薯2万元/公顷,设种植西红柿x公顷,总利润为y万元.
(1)求总利润y(万元)与种植西红柿的面积x(公顷)之间的关系式.
(2)若预计总利润不低于180万元,西红柿的种植面积不低于8公顷,有多少种种植方案?
(3)在
(2)的前提下,该企业决定投资不超过获得最大利润的在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚,开辟新的经济增长点,经测算,投资A种类型的大棚5万元/个,B种类型的大棚8万元/个,请直接写出有哪几种建造方案?
一次函数的应用;
CE:
一元一次不等式组的应用.
【分析】
(1)根据总利润=三种蔬菜的利润之和,计算即可;
(2)由题意,列出不等式组即可解决问题;
(3)由题意,列出二元一次不等式,求出整数解即可;
(1)由题意y=x+1.5×
2x+2=﹣2x+200.
(2)由题意﹣2x+200≥180,
解得x≤10,
∵x≥8,
∴8≤x≤10.
∵x为整数,
∴x=8,9,10.
∴有3种种植方案,
方案一:
种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷.
方案二:
种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷.
方案三:
种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷.
(3)∵y=﹣2x+200,
﹣2<0,
∴x=8时,利润最大,最大利润为184万元.
设投资A种类型的大棚a个,B种类型的大棚b个,
由题意5a+8b≤×
184,
∴5a+8b≤23,
∴a=1,b=1或2,
a=2,b=1,
a=3,b=1,
∴可以投资A种类型的大棚1个,B种类型的大棚1个,
或投资A种类型的大棚1个,B种类型的大棚2个,
或投资A种类型的大棚2个,B种类型的大棚1个,
或投资A种类型的大棚3个,B种类型的大棚1个.
【章节典例习题】
1.(2017•宁德)如图,直线ι是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线ι上,则m的值是( )
A.﹣5B.C.D.7
2.(2017哈尔滨)周日,小涛从