种群相互依存模型.docx
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种群相互依存模型
种群相互依存模型
种群的相互依存
摘要：
甲乙两种群的相互依存有三种形式：
1）甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
2）甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
3）甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。
本文分别对这三种相互依存的关系进行分析，从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立两种群相互依存的模型。
并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析,分别得出了两种群相互依存的条件。
关键词：
Logistic模型微分方程组稳定点鞍点平衡点自治方程
第一种情况的分析：
（1.）模型假设
1.以
、
表示甲、乙二种群在时刻
的数量，
表示甲种群的固有增长率,
分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量
2.甲独自生存时，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。
3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为
甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用（服从Logistic规律）。
4.乙为甲提供食物是甲消耗的σ1倍,甲为乙提供食物是乙消耗的σ2倍
（2.）模型建立:
经过分析得到以下方程:
………………
（1）
上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律，即为依存模型.
（3）模型求解:
欲求此问题的相互依存的条件我们先来介绍以下的知识内容：
微分方程理论性简介：
此问题为动态过程，且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。
为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程，而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
a.一阶微分方程的平衡点及其稳定性:
设一阶微分方程为
（1）,方程右端不显含自变量t,称为一阶非线性（自治）方程。
的实根
为微分方程
（1）的平衡点.同时也是方程
（1）的解（奇解）。
判断平衡点是否稳定的方法：
间接法：
若从
某邻域的任一初值出发，都有
，称
是方程
（1）的稳定平衡点。
直接法：
（1）的近似线性方程
（2），
，则
对于方程
（1）和
（2）都是稳定的；
，则
对于方程
（1）和
（2）都是不稳定的；
b.二阶微分方程的平衡点及其稳定性:
二阶方程可用两个一阶方程表示为：
（3）
右端不显含自变量t是自治方程。
代数方程组：
（4）
的实根
为微分方程（3）的平衡点.记作
判断平衡点是否稳定的方法：
间接法：
若存在某个邻域的任一初值出发，都有
，称
是方程
（1）的稳定平衡点。
直接法：
（3）的近似线性方程：
（5）
，
，
，
特征方程
，特征根
，
，平衡点
；
，平衡点
。
根据以上的分析，以下为求解该模型的平衡点过的程：
令:
…………………………
（2）
（从上式可以看出只有当
足够大方可使乙存活）
令:
…………………………（3）
方程
（1）的右边不显含自变量t,我们将其称为自治方程。
为此：
令：
解为：
，
此为
（1）的三个平衡点（或奇点）。
图1所示情况下，p1（N1,0）稳定，即能够独立生存的种群趋向最大容量，而不能独立生存的种群乙终将灭绝。
图2无稳定平衡点，相互提供食物可能使二者均趋于无穷
（5.）计算与验证：
（仅针对平衡点p2进行数值求解）
设
，初始值分别取：
。
先建立M文件：
functionxdot=zhier（t,x）
r
（1）=1.8;r
（2）=1.5;a=0.1;b=3;;N
（1）=1.6;
N
（2）=1;
xdot=[r
（1）.*x
（1）.*（1-x
（1）/N
（1）+a.*x
（2）/N
（2））;r
（2）.*x
（2）.*（-1+b.*x
（1）/N
（1）-x
（2）/N
（2））];。
求解命令：
>>ts=0:
0.1:
8;
>>x0=[0.1;0.1];
>>[t,x]=ode45（'zhier',ts,x0）;[t,x],
>>plot（t,x）,grid,gtext（'x1（t）'）,gtext（'x2（t）'）,pause,
>>plot（x（:
1）,x（:
2））,grid
x0=[1;2];
>>plot（t,x）,grid,gtext（'x1（t）'）,gtext（'x2（t）'）,pause,
从上图可以看出在平衡点p2的条件下
的时候，两种群的最大容量均增大，且相互依存，着与前面的分析是一致的。
第二种情况的分析：
（1.）模型假设：
与第一种情况的假设一样，只需要将
修改为固有增长率即可。
（2.）模型建立:
有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律。
由因为两种群均可独立生存，共处时又能相互提供食物。
故种群甲乙的数量演变规律可以写作：
……………………
（1）
则
（1）刻画了该区域所考查两种群的发展规律，即为依存模型。
（3）模型求解:
令：
（2）
（3）
令：
（4）
再令：
解为：
此为
（1）的四个平衡点。
（
）
记
记
（
）
在
处的值列表如下:
表1独立种群相互依存模型的平衡点和稳定性
稳定条件
不稳定
不稳定
不稳定
（4.）结果分析：
以（4）式作图，并在
，
的背景下讨论。
由P3点的表达式容易看出，要使平衡点P3有实际意义，即位于相平面第一象限（
），必须满足下面两个条件中的一个：
：
＜1，
＞1，
＜1
：
＞1，
＜1，
＜1
由表1可知，仅在条件
下
才是稳定的。
直线
和
将相平面（
）划分成4个区域：
：
＞0，
＜0；
：
＞0，
＞0；
：
＜0，
＞0；
：
＜0，
＜0。
图1画出了条件
下相轨线的示意图。
图1
稳定的相轨线图
＜1，
＞1即乙提供给甲的食物量大于甲消耗的供养甲的食物量，而甲提供给乙的食物量却小于乙消耗的供养乙的食物量。
在
时，平衡点
是稳定的。
此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。
因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。
图2画出了条件
下相轨线的示意图:
从上的相轨线图可以看出在A2情况下平衡点P2不稳定，相互提供食物可能使二者均趋于无穷。
（5.）计算与验证：
（仅针对平衡点p3进行数值求解）
设
，初始值分别取：
。
先建立M文件：
functionxdot=hier（t,x）
r
（1）=2.5;r
（2）=1.8;a=0.1;b=1.6;;N
（1）=1.6;
N
（2）=1;
xdot=[r
（1）.*x
（1）.*（1-x
（1）/N
（1）-a.*x
（2）/N
（2））;r
（2）.*x
（2）.*（1-b.*x
（1）/N
（1）-x
（2）/N
（2））];
求解命令：
>>ts=0:
0.1:
8;
>>x0=[0.1;0.1];
>>[t,x]=ode45（'hier',ts,x0）;[t,x],
>>plot（t,x）,grid,gtext（'x1（t）'）,gtext（'x2（t）'）,pause,
>>plot（x（:
1）,x（:
2））,grid
>>x0=[1;2];
>>plot（t,x）,grid,gtext（'x1（t）'）,gtext（'x2（t）'）,pause,
>>plot（x（:
1）,x（:
2））,grid
从上图可以看出在平衡点p3的条件下
的时候，两种群的最大容量均增大，且相互依存，这与前面的分析是一致的。
此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，
第三种情况的分析：
（1.）模型假设：
与第一种情况的假设一样，只需要将
修改为死亡率即可。
（2.）模型建立：
甲乙没有对方的存在均会灭亡，如果他们分别向对方提供食物则他们能够相互共存，根据分析得到以下方程：
…………………
（1）
则
（1）刻画了该区域所考查两种群的发展规律，即为依存模型。
（3）模型求解:
令：
（2）
（3）
令：
（4）
再令：
解为：
，
此为
（1）的二个平衡点。
（
）
记
记
（
）
在
处的值列表如下:
表1独立种群相互依存模型的平衡点和稳定性
稳定条件
稳定
不稳定
（4）结果分析：
由此可知，不论
如何，
稳定，二者终将灭绝，而当
时，存在平衡点
，但它是不稳定的。
（5.）计算与验证：
设
，初始值分别取：
。
先建立M文件：
functionxdot=hier（t,x）
r
（1）=2.5;r
（2）=1.8;a=0.1;b=1.6;;N
（1）=1.6;
N
（2）=1;
xdot=[r
（1）.*x
（1）.*（-1-x
（1）/N
（1）+a.*x
（2）/N
（2））;r
（2）.*x
（2）.*（-1+b.*x
（1）/N
（1）-x
（2）/N
（2））];
求解命令：
>>ts=0:
0.1:
8;
>>x0=[0.1;0.1];
>>[t,x]=ode45（'hier',ts,x0）;[t,x],
>>plot（t,x）,grid,gtext（'x1（t）'）,gtext（'x2（t）'）,pause,
>>plot（x（:
1）,x（:
2））,grid
>>ts=0:
0.1:
8;
>>x0=[1;2];
>>[t,x]=ode45（'hier',ts,x0）;[t,x],
>>plot（x（:
1）,x（:
2））,grid
从上图可以看出在平衡点p1的条件下
的时候，两种群将趋于灭亡，这与前面的分析是一致的。
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