探索平行四边形存在性问题教师用答案Word文档下载推荐.docx

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∵tan∠ABO===，

∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×

=2﹣t．

又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2，

∴MN=yN﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t

∴当t=2时，MN有最大值4；

（3）由

（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，

如图2所示．

（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）

由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2

从而D为（0，6）或D（0，﹣2），

（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，

易得D1N的方程为y=﹣x+6，D2M的方程为y=x﹣2，

由两方程联立解得D为（4，4）

故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．

小结：

三定点，步骤：

1，画：

（1）连三角形，

（2）过每个顶点做对边的平行线，三条平行线的交点即为第四点。

2，求：

点的平移，（对边平行且相等）

针对练习：

已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC正切值；

（3）若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

（1）由题意得：

，

解得：

∴y=﹣x2﹣2x+3；

（2）y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴P（﹣1，4），

∴，，，

∵PA2=PC2+AC2

∴∠PCA=90°

∴；

（3）∵直线AC的解析式是：

y=x+3，

直线AP的解析式是：

y=2x+6，

直线PC的解析式是：

y=﹣x+3，

当AC是平行四边形的一条对角线时：

PC∥AM，AP∥CM，

∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：

直线MC的解析式是：

y=2x+3，

直线AM的解析式是：

y=﹣x﹣3，

∴M（﹣2，﹣1），

当PC是平行四边形的一条对角线时：

同理可得∴M（2，7），

当AP是平行四边形的一条对角线时：

∴M（﹣4，1），

∴M（﹣2，﹣1）或M（2，7）或M（﹣4，1）．

活动二:

已知两点找两个点构成平行四边形（知2求2）

例2：

如图，抛物线与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

（3）点D（4，k）在

（1）中抛物线上，点F为抛物线上一动点，在y轴上是否存在点E，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的点E的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），

将点C的坐标代入，求得a=．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4．

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图

（1））．

∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），

∴AB=8，AM=m+2．

∵MN∥BC，

∴△AMN∽△ABC．

∴=，

∴NH=

∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN

=×

AM×

CO﹣AM×

NH

=（m+2）（4﹣）

=﹣m2+m+3

=﹣（m﹣2）2+4．

∴当m=2时，S△CMN有最大值4．

此时，点M的坐标为（2，0）．

（3）∵点D（4，k）在抛物线y=x2﹣x﹣4上，

∴当x=4时，k=﹣4，

∴D点的坐标是（4，﹣4）．

如图

（2），当AF为平行四边形的边时，AF∥DE，

∵D（4，﹣4），

∴E（0，﹣4），DE=4．

∴E1（﹣6，0），E2（2，0）．

如图（3）当AF为平行四边形的对角线时，

设E（n，0），则平行四边形的对称中心为（，0）．

∴E′的坐标为（n﹣6，4）．

把E（n﹣6，4）代入y=x2﹣x﹣4，

得n2﹣16n+36=0．

解得n=8±

2．

E3（8﹣2，0），E4（8+2，0）．

定两点（分两类）

（一）为边：

1.画：

做平移；

（找全）利用求的过程把落下的找到。

数形结合—与求相结合

2.求：

（1）点的平移，对边相等。

定长（例2，两定点在x轴上或平行于x轴）

（2）斜向平移：

对定点到对角线的距离相等。

（自主探究1：

两定点连线为斜线段，）

（3）定长。

（自主探究2：

两定点在y轴上或平行与y轴，）

（二）为对角线：

1画：

找中点，另一条对角线旋转寻找所有可能（具体问题具体分析）

2求：

中心对称，具体问题具体分析（全等问题）

针对练习2：

如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣1）（x+3）

∵抛物线交y轴于点E（0，﹣3），将该点坐标代入上式，得a=1

∴所求函数表达式为y=（x﹣1）（x+3），

即y=x2+2x﹣3；

（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0），

∴点C坐标（5，0），

∴将点C坐标代入y=﹣x+m，得m=5，

∴直线CD的函数表达式为y=﹣x+5，

设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，﹣t+5），G点的坐标为（t，t2+2t﹣3），

∵点K为线段AB上一动点，

∴﹣3≤t≤1，

∴HG=（﹣t+5）﹣（t2+2t﹣3）=﹣t2﹣3t+8=﹣（t+）2+，

∵﹣3＜﹣＜1，

∴当t=﹣时，线段HG的长度有最大值；

（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），

∴点F的坐标为（3，0），

∵直线l过点F且与y轴平行，

∴直线l的函数表达式为x=3，

∵点M在直线l上，点N在抛物线上，

∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n﹣3），

∵点A（﹣3，0），点C（5，0），

∴AC=8，

分情况讨论：

①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．

当点N在点M的左侧时，MN=3﹣n，

∴3﹣n=8，解得n=﹣5，

∴N点的坐标为（﹣5，12），

当点N在点M的右侧时，MN=n﹣3，

∴n﹣3=8，

解得n=11，

∴N点的坐标为（11，140），

②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：

点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（﹣1，0）

过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，

将x=﹣1代入y=x2+2x﹣3，得y=﹣4，

过点N作直线NM交直线l于点M，

在△BPN和△BFM中，

∠NBP=∠MBF，

BF=BP，

∠BPN=∠BFM=90°

∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，

∴四边形ANCM为平行四边形，

∴坐标（﹣1，﹣4）的点N符合条件，

∴当N的坐标为（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

针对练习3：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：

随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

【解答】方法一：

解：

（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∵点A在点B的左侧，

∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．

当x=0时，y=3．

∴C点的坐标为（0，3）

设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），

则，

解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4）．

（2）抛物线上有三个这样的点Q，

①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；

②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；

③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；

综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：

Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．

（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，

过点B′作B′E⊥x轴于点E．

∵∠1和∠2都是∠3的余角，

∴∠1=∠2．

∴Rt△AOC∽Rt△AFB，

∴，

由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，

∴AC=，AB=4．

∴BF=，

∴BB′=2BF=，

由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，

∴，即．

∴B′E=，BE=，

∴OE=BE﹣OB=﹣3=．

∴B′点的坐标为（﹣，）．

设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．

∴直线B′D的解析式为：

y=x+，

联立B′D与AC的直线解析式可得：

∴M点的坐标为（，）．

方法二：

（1）略．

（2）略．

（3）设B点关于直线AC的对称点为B′，显然BB′被直线AC垂直平分，交点为F．

由BB′⊥AC，∴KBB′×

KAC=﹣1，∵KAC=3，∴KBB′=﹣，

设BB′直线方程为y=