北师大版九年级上册数学试题第四章图形的相似.docx

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北师大版九年级上册数学试题第四章图形的相似

北师大版九年级上册数学试题：

第四章图形的相似

一．选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．四条边对应成比例的两个四边形相似

B．相似三角形的面积的比等于相似比

C．对应角相等的多边形相似

D．三边对应成比例的两个三角形相似

2．已知，则下列等式成立的是（　　）

A．B．

C．D．y+z＝3x

3．如图，△ABC中，CE：

EB＝1：

2，DE∥AD，若△ABC的面积为S，则△ADE的面积为（　　）

A．B．C．D．

4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，DE、AB的延长线相交于点F，图中相似三角形共有（　　）

A．4对B．3对C．2对D．1对

5．如图，已知矩形ABCD的边AD长为4cm，边AB长为3cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（　　）

A．2.25cm2B．4.75cm2C．5.25cm2D．6.75cm2

6．如图，等腰直角△ABC的两直角边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，等腰直角△MNP与等腰直角△ABC是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3，若点M的坐标为（1，2），则△MNP与△ABC的相似比是（　　）

A．B．C．D．

7．如图，直角梯形MNPQ，∠MNP＝90°，PM⊥NQ，若，则＝（　　）

A．B．C．4D．

8．如图，DE∥BC，且S△ADE：

S四边形DBCE＝1：

8，则AE：

AC为（　　）

A．1：

9B．1：

3C．1：

8D．1：

2

9．已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．2.5B．3.25C．3.75D．4

10．如图，正方形OABC和正方形DEFG是位似图形（其中点O，A，B，C的对应点分别是点D，E，F，G），点B的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，2），则这两个正方形的位似中心的坐标是（　　）

A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（﹣4，2）D．（4，2）

11．一张等腰三角形纸片，底边长30cm，底边上的高为45cm，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为6cm的矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）

A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张

12．如图，Rt△ABC中，BC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（　　）

A．B．C．D．

二．填空题

13．已知＝，则的值是　　．

14．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝3，DC＝4，AE＝2，则BE＝　　．

15．如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是　　．

16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：

（1）∠B+∠DAC＝90°；

（2）∠B＝∠DAC；（3）；（4）AB2＝BD•BC．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（填序号）　　．

17．如图，已知△ABC中，D为BC中点，E，F为AB边三等分点，AD分别交CE，CF于点M，N，则AM：

MN：

ND等于　　．

18．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是　　．

三．解答题

19．如图所示，已知△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP．

（1）要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是　　．

（2）若△ACP∽△ABC，且AC＝，AB＝3，求AP的长．

20．已知：

如图，△ABC中，AB＝2，BC＝4，D为BC边上一点，BD＝1．

（1）求证：

△ABD∽△CBA；

（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与△ABD相似的三角形，并直接写出DE的长．

21．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．

（1）求t＝15时，△PEF的面积；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？

若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

22．如图，△ABC在坐标平面内三个顶点的坐标分别为A（1，2）、B（3，3）、C（3，1）．

（1）根据题意，请你在图中画出△ABC；

（2）在原网格图中，以B为位似中心，画出△A′B′C′，使它与△ABC位似且相似比是3：

1，并写出顶点A′和C′的坐标．

23．已知：

CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．

（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；

（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．

24．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．

（1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？

（2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？

请你计算．

（3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

参考答案

一．选择题

1．解：

四条边对应成比例的两个四边形不一定相似，故错误；

B、相似三角形的面积的比等于相似比的平方，故错误；

C、对应角相等的多边形不一定相似，如正方形和矩形，故错误；

D、三边对应成比例的两个三角形相似，

故选：

D．

2．解：

设＝t，则x＝4t，y＝5t，z＝7t，

A、原式＝＝﹣，所以A选项错误；

B、原式＝＝，所以B选项错误；

C、原式＝＝，所以C选项错误；

D、y+z＝5t+7t＝12t，3x＝12t，所以D选项正确．

故选：

D．

3．解：

∵CE：

EB＝1：

2，

∴S△ABE：

S△ABC＝2：

3，

∴S△ABE＝S，

∵DE∥AD，

∴△BDE∽△BAC，

∴S△BDE：

S△BAC＝（BE：

BC）2＝4：

9，

∴S△BDE＝S，

∴S△ADE＝S△ABE﹣S△BDE＝S﹣S＝S．

故选：

D．

4．解：

∵在▱ABCD中，点E在BC上，DE、AB的延长线相交于点F，AD∥BC．

∴△BEF∽△ADF，

又∵CD∥AB，

∴△BEF∽△CDE，

∴△ADF∽△CED，共3对．

故选：

B．

5．解：

依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，

则矩形ABDC∽矩形AEFB，

则，

设AE＝xcm，得到：

，

解得：

x＝2.25，

则截取的矩形面积是：

3×2.25＝6.75cm2．

故选：

D．

6．解：

∵等腰直角△ABC的两直角边BC、AB分别在平面直角坐标系内的x轴、y轴的正半轴上，AC＝3，

∴AB＝BC＝3，

∴点A（0，3），C（3，0），

∵点O′是AC的中点，

∴点O′（，），

∵点M的坐标为（1，2），

∴O′M＝＝，

∴MN＝，

∴△MNP与△ABC的相似比是：

MN：

AC＝：

3＝1：

3．

故选：

C．

7．解：

设PM与NQ相较于点O，

∵PM⊥NQ，

∴∠QMO+∠MQO＝90°，

∵直角梯形MNPQ，∠MNP＝90°，

∴∠MNQ+∠MQO＝90°，MQ∥PN，∠MNP＝∠MNP＝90°，

∴∠MPN＝∠QMO，

∴∠MPN＝∠MNQ，

∴△MNQ∽△NPM，

∴，

∴MQ＝MN，NP＝MN，

∴＝．

故选：

A．

8．解：

∵S△ADE：

S四边形DBCE＝1：

8，

∴S△ABC＝9S△ADE，

∴S△ADE：

S△ABC＝1：

9，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴＝（）2＝，

∴AE：

AC＝1：

3．

故选：

B．

9．解：

斜边l所分得的三个三角形相似，

根据相似的性质可知＝，

解得x＝2.5，

即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5．

再根据相似的性质可知＝，

解得：

x＝1，

所以梯形的下底就是3﹣1＝2，

所以阴影梯形的高是（2+0.5）×3÷2＝3.75．

故选：

C．

10．解：

如图，连接FB并延长与x轴交于点P，则点P即为位似中心，

设OP＝x，

∵点B的坐标为（1，1），点F的坐标为（4，2），

∴PA＝x+1，PE＝x+4，

∵正方形OABC和正方形DEFG的边AB、EF都与x轴垂直，

∴AB∥EF，

∴△PAB∽△PEF，

∴＝，

即＝，

解得x＝2，

∵点P在x轴负半轴，

∴点P（﹣2，0）．

故选：

A．

11．解：

设这张正方形纸条是第n张．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC，

∴＝＝，

解得：

n＝6．

故选：

C．

12．解：

∵Rt△ABC中，BC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴AC＝＝BC＝6，

∴S△ABC＝AC•BC＝6，

∵D1E1⊥AC，

∴D1E1∥BC，

∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，

∵D1是斜边AB的中点，

∴D1E1＝BC，CE1＝AC，

∴S1＝BC•CE1＝BC×AC＝×AC•BC＝S△ABC；

∴在△ACB中，D2为其重心，

∴D2E1＝BE1，

∴D2E2＝BC，CE2＝AC，S2＝××AC•BC＝S△ABC，

∴D3E3＝BC，CE2＝AC，S3＝S△ABC…；

∴Sn＝S△ABC；

∴S2013＝×6＝．

故选：

C．

二．填空题（共6小题）

13．解：

∵＝，

∴a＝2b，

∴＝＝5．

故答案为：

5．

14．解：

∵AD＝3，DC＝4，

∴AC＝AD+DC＝3+4＝7，

∵△ADE∽△ABC，

∴＝，

即＝，

解得AB＝10.5，

∴DE＝AB﹣AE＝10.5﹣2＝8.5．

故答案为：

8.5．

15．解：

连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝2，

∴△BFN∽△DAN，

∴＝＝，

∵F是BC的中点，

∴BF＝BC＝AD＝，

∴AN＝2NF，

∴AN＝AF，

在Rt△ABF中，AF＝＝5，

∴cos∠BAF＝＝＝，

∵E，F分别是AB，BC的中点，AD＝AB＝BC，

∴AE＝BF＝，

∵∠DAE＝∠ABF＝90°，

在△ADE与△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠AED＝∠AFB，

∴∠AME＝180°﹣∠BAF﹣∠AED＝180°﹣∠BAF﹣∠AFB＝90°．

∴AM＝AE•cos∠BAF＝×＝2，

∴MN＝AN﹣AM＝AF﹣AM＝×5﹣2＝，

∴．