毕业论文-特征值与特征向量的应用.doc
《毕业论文-特征值与特征向量的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文-特征值与特征向量的应用.doc（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
本科生毕业论文设计
特征值与特征向量的应用
作者姓名：
卢超男
指导教师：
兰文华
所在学部：
信息工程学部
专业：
数学与应用数学
班级（届）：
2013届2班
二〇一三年四月二十六日
目录
摘要 1
绪论 2
1特征值和特征向量 3
1.1特征值与特征向量的概念 3
1.2特征值与特征向量的性质 3
2矩阵的特征值和特征向量的求法 4
2.1具体的数字矩阵 4
2.2抽象的矩阵 4
2.3相似矩阵 5
2.4实对称矩阵 6
3特征值和特征向量在生活中的应用 8
3.1经济发展与环境污染的增长模型 8
3.2莱斯利（Leslie）种群模型 11
参考文献 18
英文摘要 19
摘要
特征值与特征向量是高等代数中一个重要的部分，并在理论和学习及实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性与便捷性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.
正文共划分为三个大部分，第一部分，是对特征值与特征向量概念、性质的充分总结。
这是为了更好的利用定义和性质来解决相关的矩阵习题；第二部分，是具体的将矩阵分类，按照矩阵的类型与特征值和特征向量的性质进行匹配，具体的解决问题并有相关的例题。
第三部分，是举出特征值与特征向量在生活的具体事例，来展示他的应用性。
特征值与特征向量还有很广泛的用途，本文只是对特征值与特征向量概念、性质，在数学矩阵与生活中的应用进行简短的研究归纳。
关键词：
特征值，特征向量，矩阵
绪论
在已有研究的基础上，该文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加简捷便利，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽例子的阐述和说明.该文重点介绍了对特征值与特征向量在不同类型矩阵中的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种很好而有效途径.该文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性得到了很大的展现。
1特征值和特征向量
1.1特征值与特征向量的概念
定义1，设是数域上的线性空间Ｖ的一个线性变换，如果对于数域中的一数，存在一个非零向量，使得
那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。
定义2，设是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量，使得
成立，则称是矩阵特征值，称非零向量是矩阵属于特征值的特征向量。
（注：
特征向量是非零向量）
行列式称为矩阵的特征多项式。
称为矩阵的特征方程。
1.2特征值与特征向量的性质
1）如果都是特征值所对应的特征向量，则的线性组合（非0时）仍是属于的特征向量。
（注：
该性质说明的特征向量不是唯一的，但反过来，一个特征向量只能属于一个特征值。
）
2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当时矩阵的k重特征值时，矩阵属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个。
（注：
因A只有n个特征值，故A的特征向量虽有无穷多个，但线性无关的至多有n个，并且若是矩阵A的不同特征值，分别为的特征向量，则与的线性组合不再是A的特征向量。
）
3）特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的乘积等于矩阵A行列式的值，即
4）n阶矩阵A和他的转置矩阵有相同的特征值。
5）n阶矩阵A可逆的充分必要条件是，他的任一特征值均不等于零。
6）若是矩阵A的特征值，则对任何正整数k,是的特征值。
2矩阵的特征值和特征向量的求法
2.1具体的数字矩阵
对于具体的数字矩阵的步骤如下：
1）先有具体的特征方程求出矩阵A的全部特征值（i=1,2,3,、、、n,）,其中可能有重根，
2）对每个不同的特征值，分别解齐次方程组，
3）求出方程组的基础解析
（注：
设，基础解析为、、、，则矩阵A属于特征值的全部特征向量为（其中，···是不全为零的任意常数。
）
例1，求矩阵的特征值和特征向量？
解：
本题可以由特征方程，即
当时，得
当时，得
当所以A的特征值是相应的特征向量分别是其中
2.2抽象的矩阵
抽象矩阵，要根据特征值与特征向量的定义及性质推导出特征值的取值。
例2，设A是3阶矩阵，是3维线性无关的列向量，且
求矩阵A的特征值和特征向量。
解：
由知是A的特征值，是的特征向量。
由已知条件，有
记由线性无关，知矩阵P可逆，
其中
因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式
所以矩阵A的特征值是-1，-1,0.
对于矩阵B，
所以矩阵B关于特征值的特征向量是
若即那么矩阵A关于特征值的特征向量是
因此，分别是矩阵A关于特征值和的特征向量，（）。
2.3相似矩阵
定义1：
设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P，使则矩阵A与B相似，记
利用特征值和特征向量解决矩阵的相似对角化，其解题步骤：
第一歩，先求出矩阵A的特征值：
第二步，再求出所对应的线性无关的特征向量
第三歩，构造可逆矩阵P=（），则
例1，已知求可逆矩阵P，使得
解：
由
得矩阵A的特征值
当时，对
的特征向量
当时，对
得特征向量
那么，令有
2.4实对称矩阵
实对称矩阵的性质
（1），实对称矩阵的必可对角化；
（2），特征值全部是实数；
（3），不同特征值得特征向量相互正交；
（4），重特征值必有个线性无关的特征向量，或者说必有秩
解题实对称矩阵的一般步骤：
第一步，当A的特征值互不相同时，仅需把特征向量单位化就可用来构造矩阵P；
第二步，当特征根有重根时，要检查特征向量是否正交，否则必须对的特征向量用Schmidt正交化处理，才能构造出正交矩阵P。
例2：
设矩阵的特征值有重根，试求正交矩阵Q，使为对角形。
解：
A的特征多项式
由于判别式没有实数根，即所以只能是重根。
于是必有的因式，
因此由得a=-2.
对于由即
得到线性无关的特征向量用Schmidt正交化方法，现正交化，有
再将单位化，得
对于由即
得特征向量单位化为
那么，令即有
3特征值和特征向量在生活中的应用
矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用.结合数学模型来研究经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie）种群模型这两种模型，还有很多相关的生活实例，在本文中着重介绍经济发展与环境污染的增长模型和莱斯利（Leslie）种群模型这两种模型。
3.1经济发展与环境污染的增长模型
经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.党的十八大也做出了重要的决策。
为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可以建立如下数学模型：
设分别为某一地区目前的经济发展水平与环境污染水平，分别为该地区若干年后的经济发展水平和环境污染水平，且有如下关系：
令
则上述关系的矩阵形式为
该式反映了该地区目前和若干年后的经济发展水平和环境污染水平之间的关系.
如
则由上式可得
由此可以预测该地区若干年后的经济发展水平和环境污染水平.
一般地，若令分别为该地区t年后的经济发展水平与环境污染水平，则经济发展与环境污染的增长模型为
令
则上述关系的矩阵形式为
由此，有
由此可预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平.下面可以作出进一步地相关讨论：
由矩阵A的特征多项式
得A的特征值为
对度，解方程得特征向量
对，解方程得特征向量
显然,线性无关
下面分三种情况分析：
Case1
一个性质:
若是矩阵A的属于特征值的特征向,则也是的属于特征值的特征向量度（*）
由（*）及特征值与特征向量的性质知，
即或
此式表明：
在当前的环境污染水平和经济发展水平的前提下，t年后，当经济发展水平达到较高程度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.
不讨论此种情况
不是特征值,不能类似分析。
但是可以由唯一线性表出来
由（*）及特征值与特征向量的性质
即
由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展水平.
因无实际意义而在Case2中未作讨论，但在Case3的讨论中仍起到了重要作用.
由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值和特征向量理论在模型的分析和研究中成功的被应用.
3.2莱斯利（Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分布与数量增长之间的关系。
设某一动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L（单位：
年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组
每个年龄组的长度为
设第i个年龄组的生育率（即每一雌性动物平均生育的雌性幼体的数目）为αi，存活率（即第i个年龄组中可存活到第i+1个年龄组的雌性动物的数目与
第i个年龄组中雌性动物的总数之比）为bi。
令
即为初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量。
取
设在时刻tk该动物种群的第i个年龄组中雌性动物的数目为
令
则X（k）即为时刻tk该动物种群中雌性动物的年龄分布向量.显然，随着时间的变化，该动物种群的各年龄组中雌性动物的数目会发生变化.
易知，时刻tk该动物种群的第一个年龄组中雌性动物的数目等于在时段[tk-1,tk]内各年龄组中雌性动物生育的雌性幼体的数目之和，即
（2.1）
又tk时刻该动物种群的第i+1个年龄组中雌性动物的数目等于tk-1时刻第i个年龄组中雌性动物的存活量，即
（2.2）
联立（2.1）和（2.2）得
（2.3）
即
（2.4）
令莱斯利矩阵
则（2.4）即为
于是
（2.6）
由此，若已知初始时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X（0），则可计算出tk时刻该动物种群中雌性动物的年龄分布向量X（k），从而对该动物种群中雌性动物的数量作出科学的预测和分析.⑤
例3．1设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为1
升级会员 