届江苏省高邮市高三上学期期初考试数学理科解析版Word文件下载.docx

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【点睛】本题考查了矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，属于基础题。

4.已知角的终边经过点，则的值等于________．

，所以，，故，填．

5.已知点在椭圆上，则的最大值为________．

【答案】4

利用椭圆的参数方程，结合三角函数值的有界性可求得最大值。

【详解】设动点P的参数坐标为（是参数）

则

所以最大值为4

【点睛】本题考查了椭圆参数方程的简单应用，属于基础题。

6.已知曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.

先将参数方程化为直角坐标方程，再将极坐标公式代入直角坐标方程化简即可。

【详解】曲线C的直角坐标方程为

因为，代入

展开化简得

【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程与极坐标方程间的转化，熟练掌握这些转化公式，属于基础题。

7.直线在矩阵对应的变换作用下得到直线的方程为________.

根据矩阵变换，设出点的坐标，进而代入即可求得对应的直线方程。

【详解】设点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′）

则

即

代入直线方程，可化简得

所以直线方程为

【点睛】本题考查了矩阵变换，关键记住几种变换的公式，属于基础题。

8.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象对应的解析式为________．

由题设可得，应填答案。

9.函数在上的零点个数为________．

【答案】3

根据零点概念，求得零点的取值，再由定义域可确定零点个数。

【详解】令=0

所以（）

，又因为定义域为

所以

所以零点个数为3个

【点睛】本题考查了三角函数零点的求法，注意定义域的特殊要求，属于基础题。

10.已知矩阵对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转，则矩阵_________

利用待定系数法，结合矩阵变换特征，可求得矩阵A。

【详解】矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，可得

绕原点按照顺时针方向旋转90°

可得

【点睛】本题考查了矩阵的旋转变换，属于基础题。

11.设函数的最小正周期为，且满足，则函数的单调增区间为________．

根据辅助角公式，将三角函数式化简，由最小正周期及偶函数性质，求得三角函数解析式，进而求得单调递增区间。

【详解】

因为最小正周期为，所以

因为，

解得

所以

因为的单调增

所以2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z

解得，即单调递增区间为（）

【点睛】本题考查了三角函数解析式及单调区间的求法，属于基础题。

12.已知函数，，对一切，

恒成立，则实数的取值范围为________.

通过分离参数，得到关于x的不等式；

再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围。

【详解】因为，代入解析式可得

分离参数a可得

令（）

则，令解得

所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减

当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．

所以h（x）≥h

（1）=4．

因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

所以a≤h（x）min=4．

所以a的取值范围为

【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题。

13.已知，，则_________

利用同角三角函数关系，求得tanα的值；

再根据二倍角公式求得tan2α的值，结合正切的和角公式求解。

【详解】因为，两边同时平方得

，即

等式左边上下同时除以得

，解方程可得

当时，由二倍角公式得

当时，由二倍角公式得

【点睛】本题综合考查了三角函数同角三角函数式、二倍角公式、正切和角公式的综合应用，属于难题。

14.已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.

分析：

由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.

详解：

分类讨论：

当时，方程即，

整理可得：

，

很明显不是方程的实数解，则，

令，

其中，

原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.

结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，

同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，

结合观察可得，实数的取值范围是.

点睛：

本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：

（1）直接求零点：

令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

（2）零点存在性定理：

利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·

f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．

（3）利用图象交点的个数：

将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

二、解答题：

本大题共6小题；

共90分．

15.在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过点和极点．

（1）写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（2）直线和曲线相交于两点、，求线段的长．

（1）；

（2）

（1）写出直线的极坐标方程，结合曲线的极坐标方程，联立即可求得曲线的直角坐标方程。

（2）写出点M的直角坐标，进而得到直线的方程，根据直线与圆的关系，结合垂径定理即可求得弦长。

（1）∵直线过点和极点，∴直线的极坐标方程是.

即，两边同乘以得，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）点的直角坐标为，直线过点和原点，

∴直线的直角坐标方程为.

曲线的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，

【点睛】本题考查了极坐标、直角坐标的相互转化，直线与圆的位置关系及弦长的求法，属于基础题。

16.已知矩阵，其中，若点在矩阵对应的变换作用下得到点。

（1）求实数的值；

（2）求矩阵的特征值及特征向量.

（2）特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为，

（1）根据矩阵变换，代入可求得a的值。

（2）根据特征值计算公式，得到关于特征值的方程，即可求得特征值及特征向量。

（1）∵，∴，∴.

（2）∵，∴.

令，得，，

对于特征值，解相应的线性方程组得一个非零解，

因此是矩阵的属于特征值的一个特征向量.

因此是矩阵的属于特征值的一个特征向量.

∴矩阵的特征值为，，

属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为，

【点睛】本题考查了矩阵的变换及特征值和特征向量的求法，熟练掌握矩阵的对应变换和求值，属于中档题。

17.已知，，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

（1）；

（2）

（1）根据角的取值范围，结合同角三角函数式，可求得，进而求得，再结合正切的二倍角公式即可求值。

（2）根据同角三角函数关系式，及角的关系即可求得的值，再利用角的取值范围即可求得α的值。

（1）∵，，得

∴，

（2）由，，∴又∵，

∴=

由得：

==

∵∴.

【点睛】本题考查了同角三角函数式的应用，角的变化及应用，属于基础题。

18.已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：

如图甲，以为斜边；

如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？

请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．

【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为

设，根据三角函数面积公式可得，可求得图甲的最大面积；

设，可根据三角形面积公式得，可求导并根据函数的单调性求得最值。

比较两个式子即可判断面积大小。

【详解】如图甲，设，

则，，

所以，

当且仅当时取等号，

此时点到的距离为，可以保证点在半圆形材料内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为．

如图乙，设，则，，

所以，．

设，则，

当时，，所以时，即点与点重合时，

的面积最大值为．

所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为

【点睛】本题考查了三角函数及面积表达式的简单应用，属于基础题。

19.设函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，求证：

对任意，都有．

（2）当时，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增

（3）见解析

试题分析：

（1）当时，求出导数易得，即，利用点斜式可得其切线方程；

（2）求得可得，分为和两种情形判断其单调性；

（3）当时，根据

（2）可得函数在上单调递减，故，即，化简可得所证结论.

试题解析：

（1）当时，，，，，所以函数在点处的切线方程为，即．

（2），定义域为，．

①当时，，故函数在上单调递减；

②当时，令，得

x

↘

极小值

↗

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（3）当时，由

（2）可知，函数在上单调递减，显然，，故，所以函数在上单调递减，对任意，都有，所以．所以，即，所以，即，所以，即，所以．

20.已知函数，.

（1）若有两个不同的解，求的值；

（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）求在上的最大值.

（1）或.

（2）；

（3）当a≥0时，h（x）在[－2,2]上的最大值为3a＋3；

当－3≤a＜0时，h（x）在[－2,2]上的最大值为a＋3；

当a＜－3时，h（x）在[－2,2]上的最大值为0.

（1）根据有两个不同的解，画出函数图像即可求出a的值。

（2）因为不等式对恒成立，分离得参数a，分类讨论当x取不同范围值时，不等式的解集即可。

（3）对a进行讨论，结合函数图像，讨论在上的最大值情况。

（1）方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的