完整word版高等代数北大版第7章习题参考答案.docx
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完整word版高等代数北大版第7章习题参考答案
第七章线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1） 在线性空间V中，A
其中
V是一固定的向量；
2） 在线性空间V中，A
其中
V是一固定的向量；
3） 在P
中，A
；
4） 在P
中，A
；
5） 在P[
]中，A
；
6） 在P[
]中，A
其中
P是一固定的数；
7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A
。
8） 在P
中，AX=BXC其中B,C
P
是两个固定的矩阵.
解1）当
时,是;当
时,不是。
2）当
时,是;当
时,不是。
3）不是.例如当
时,
A
A
A
A（
。
4）是.因取
有
A
=A
=
=
=A
+A
，
A
A
=
A
，
故A是P
上的线性变换。
5）是.因任取
并令
则
A
=A
=
=
=A
+A
，
再令
则A
A
A
，
故A为
上的线性变换。
6）是.因任取
则.
A
=
A
A
，
A
A
。
7）不是，例如取a=1,k=I，则A（ka）=-i,k（Aa）=i,A（ka）
kA（a）。
8）是，因任取二矩阵
，则A（
A
+A
，
A（k
）=
A
，故A是
上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：
A
=B
=C
=E,AB
BA,A
B
=B
A
，并检验（AB）
=A
B
是否成立。
解任取一向量a=（x,y,z），则有
1）因为
Aa=（x,-z,y）,A
a=（x,-y,-z），A
a=（x,z,-y）,A
a=（x,y,z），
Ba=（z,y,-x）,B
a=（-x,y,-z），B
a=（-z,y,x）,B
a=（x,y,z），
Ca=（-y,x,z）,C
a=（-x,-y,z），C
a=（y,-x,z）,C
a=（x,y,z），
所以A
=B
=C
=E。
2）因为AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y），BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x），
所以AB
BA。
3）因为A
B
（a）=A
（-x,y,-z）=（-x,-y,z），B
A
（a）=B
（x,-y,-z）=（-x,-y,z），
所以A
B
=B
A
。
3）因为（AB）
（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x），A
B
（a）=（-x,-y,z），
所以（AB）
A
B
。
3.在P[x]中，A
B
，证明:
AB-BA=E。
证任取
P[x]，则有
（AB-BA）
=AB
-BA
=A（
-B（
=
-
=
所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：
A
B-BA
=
A
（k>1）。
证采用数学归纳法。
当k=2时
A
B-BA
=（A
B-ABA）+（ABA-BA
）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=2ª，结论成立。
归纳假设
时结论成立，即A
B-BA
=
A
。
则当
时，有
A
B-BA
=（A
B-A
BA）+（A
BA-BA
）=A
（AB-BA）+（A
B-BA
）A=A
E+
A
A=
A
。
即
时结论成立.故对一切
结论成立。
5.证明：
可逆变换是双射。
证设A是可逆变换，它的逆变换为A
。
若a
b
，则必有Aa
Ab，不然设Aa=Ab，两边左乘A
，有a=b，这与条件矛盾。
其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A
b=a即可。
因此,A是一个双射。
6.设
是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。
证明：
A是可逆变换当且仅当A
A
A
线性无关。
证因A（
）=（A
A
A
）=（
）A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A
A
A
线性无关，故A可逆的充要条件是A
A
A
线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1）第1题4）中变换A在基
=（1,0,0）,
=（0,1,0）,
=（0,0,1）下的矩阵；
2）[o;
]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B是平面上的向量对
的垂直投影，求A,B,AB在基
下的矩阵；
3）在空间P[x]
中，设变换A为
，
试求A在基
=
（I=1,2,
n-1）下的矩阵A；
4）六个函数
=e
cos
=e
sin
，
=
e
cos
=
e
sin
，
=
e
cos
=
e
sin
，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基
（i=1,2,
6）下的矩阵；
5）已知P
中线性变换A在基
=（-1,1,1）,
=（1,0,-1）,
=（0,1,1）下的矩阵是
，
求A在基
=（1,0,0）,
=（0,1,0）,
=（0,0,1）下的矩阵；
6）在P
中，A定义如下：
，
其中
，
求在基
=（1,0,0）,
=（0,1,0）,
=（0,0,1）下的矩阵；
7）同上，求A在
下的矩阵。
解1）
A
=（2,0,1）=2
+
，A
=（-1,1,0）=-
+
，A
=（0,1,0）=
，
故在基
，
下的矩阵为
。
2）取
=（1，0），
=（0，1），则A
=
+
，A
=
+
，
故A在基
，
下的矩阵为A=
。
又因为B
=0，B
=
，所以B在基
，
下的矩阵为B=
，另外，（AB）
=A（B
）=A
=
+
，
所以AB在基
，
下的矩阵为AB=
。
3）因为
，
所以A
，
A
，
A
=
{
}
=
，
所以A在基
下的矩阵为A=
。
4）因为D
=a
-b
D
=b
-a
，
D
=
+a
-b
D
=
+b
+a
D
=
+a
-b
D
=
+b
+a
，
所以D在给定基下的矩阵为D=
。
5）因为（
）=（
，
）
，所以
（
，
）=（
）
=（
）X，
故A在基
，
下的矩阵为
B=X
AX=
=
。
6）因为（
）=（
，
）
，
所以A（
）=A（
，
）
但已知A（
）=（
，
）
，
故A（
，
）=（
，
）
=（
，
）
=（
，
）
。
7）因为（
，
）=（
）
，
所以A（
）=（
）
=（
）
。
8．在P
中定义线性变换A
（X）=
X,A
（X）=X
A
（X）=
X
求A
A
A
在基E
E
E
E
下的矩阵。
解因A
E
=aE
+cE
A
E
=aE
+cE
A
E
=bE
+dE
A
E
=bE
+dE
故A
在基E
E
E
E
下的矩阵为A
=
。
又因A
E
=aE
+bE
A
E
=cE
+dE
A
E
=aE
+bE
A
E
=cE
+dE
故A
在基E
E
E
E
下的矩阵为A
=
。
又因A
E
=a
E
+abE
+acE
+bcE
，
A
E
=acE
+adE
+c
E
+cdE
，
A
E
=abE
+b
E
+adE
+bdE
，
A
E
=bcE
+bdE
+cdE
+d
E
，
故A
在基E
E
E
E
下的矩阵为
。
9.设三维线性空间V上的线性变换A在基
下的矩阵为
A=
，
1）求A在基
下的矩阵；
2）求A在基
下的矩阵，其中且；
3）求A在基
下的矩阵。
解1）因A
=
+a
，
A
=
，
A
=
，
故A在基
下的矩阵为
。
2）因A
=
+
，
A（k
）=
+
+
，
A
=
+
（
）+
，
故A在
下的矩阵为
。
3）因A（
）=（
）（
）+（
）
+（
）
，
A
=
（
）+（
）
+
，
A
=
（
）+（
）
+
，
故A基
下的矩阵为
。
10.设A是线性空间V上的线性变换，如果A
0,但A
=0，求证：
A
A
（
>0）线性无关。
证设有线性关系
，
用A
作用于上式,得
A
=0（因A
对一切n
均成立），
又因为A
0,所以
于是有
，
再用A
作用之,得
A
=0.再由,可得
=0.同理,继续作用下去,便可得
即证
A
A
（
>0）线性无关。
11.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量
使得A
，求证A在某组下的矩阵是
。
证由上题知,
A
A
A
线性无关，故
A
A
A
为线性空间V的一组基。
又因为A
A
+
A
，
A（A
）=
+
A
+
A
+
A
，
……………………………
A（A
）=
+
A
+
A
+
A
，
故A在这组基下的矩阵为
。
12．设V是数域P上的维线性空间，证明：
与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数乘变换。
证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射，而与一切n级方阵可交换的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。
13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：
如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证设A在基
下的矩阵为A=（
），只要证明A为数量矩阵即可。
设X为任一非退化方阵，且
（
）=（
）X，
则
也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是
，从而有AX=XA，这说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
，
则由A
=
A知
=0（i
j），即得
A=
，
再取
=
由A
=
A，可得
。
故
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