届一轮复习人教A版角度和物理问题学案Word文件下载.docx

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3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°

，灯塔B在观察站C的南偏东60°

，则灯塔A在灯塔B的（　B　）

A．北偏东10°

　B．北偏西10°

C．南偏东10°

　D．南偏西10°

[解析]　如图，由题意知

∠ACB＝180°

－40°

－60°

＝80°

，

∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°

∴α＝60°

－50°

＝10°

4．一船以22km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°

，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°

，则灯塔S与B之间的距离为（　A　）

A．66km　B．132km

C．96km　D．33km

[解析]　如图，∠ASB＝180°

－15°

－45°

＝120°

AB＝22×

＝33，

由正弦定理，得＝，

∴SB＝66km.

5．某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°

，∠BCD＝135°

，AB＝80nmile，位于BC＝40＋30nmile，CD＝250nmile，D位于A的北偏东75°

方向。

现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ＝.

[解析]　由题意，AC＝

＝50nmile

60min后，轮船到达D′，AD′＝50×

1＝50nmile

∵＝，

∴sin∠ACB＝，

∴cos∠ACD＝cos（135°

－∠ACB）＝，

∴AD＝

＝350

∴cos∠DAC＝＝0，

∴∠DAC＝90°

∴CD′＝＝100，∴∠AD′C＝60°

∴sinθ＝sin（75°

）＝.

故答案为.

H

命题方向1　⇨测量角度问题

　　例题1　在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶仰角为2θ，再向塔走10米，测得塔顶仰角为4θ，试求角θ的度数．

[分析]　如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．

[解析]　解法一：

∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，

∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30，

又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，

∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10，

在△BPC中，根据正弦定理得：

＝，

即＝，∴＝，

由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝，

∵0°

<

2θ<

90°

，∴2θ＝30°

，∴θ＝15°

解法二：

在△BPC中，根据余弦定理得：

PC2＝PB2＋BC2－2PB·

BC·

cos2θ

把PC＝BC＝10，PB＝30代入上式得，

300＝302＋（10）2－2×

30×

10cos2θ

化简得：

cos2θ＝，

解法三：

如图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，

∵△BPC为等腰三角形，

∴PE＝BE＝15，

在Rt△BEC中，

cos2θ＝＝＝，

『规律总结』　解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解．

〔跟踪练习1〕

（2020·

赤峰高三检测）在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°

，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°

（1）求BC的长；

（2）若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度（精确到0.01米，其中≈1.732）．

[解析]　

（1）在△ABC中，∠CAB＝45°

，∠DBC＝75°

，则∠ACB＝75°

＝30°

，AB＝4，由正弦定理得＝，

解得BC＝4（米）．

（2）在△CBD中，∠CDB＝90°

，BC＝4，所以DC＝4sin75°

，因为sin75°

＝sin（45°

＋30°

）＝sin45°

cos30°

＋cos45°

sin30°

则DC＝2＋2，所以CE＝3.70＋2≈3.70＋3.464≈7.16（米）．

答：

（1）BC的长为4米；

（2）这棵桃树顶端点C离地面的高度为7.16米．

命题方向2　⇨角度与营救问题

　　例题2　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3＋）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°

，B点北偏西60°

的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°

且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

[分析]　根据题意先由正弦定理求出BD，再利用余弦定理求出CD，最后作答．

[解析]　由题意知AB＝5（3＋），

∠DBA＝90°

，∠DAB＝45°

∴∠ADB＝105°

且sin105°

＝sin45°

·

cos60°

＋sin60°

cos45°

＝×

＋×

＝.

在△ABD中，由正弦定理得，＝，

∴BD＝＝

＝＝＝10.

又∠DBC＝180°

＝60°

.BC＝20，

在△DBC中，由余弦定理得

CD2＝BD2＋BC2－2×

BD×

BC×

＝300＋1200－2×

10×

20×

＝900.

∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝＝1（小时）．

救援船到达D点需要1小时．

『规律总结』　解决本题应明确两点，一是理解方向角的概念，二是选择适当的三角形，根据已知量利用正、余定理求解未知量．

〔跟踪练习2〕

甲船在A处发现乙船在北偏东60°

的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，问甲船应沿着北偏东30°

方向前进，才能最快与乙船相遇？

[解析]　如图，设经过th两船在C点相遇，

则在△ABC中，

BC＝at，AC＝at，B＝180°

由＝，

得sin∠CAB＝＝＝.

∠CAB<

∴∠CAB＝30°

，∴∠DAC＝60°

－30°

即甲船应沿北偏东30°

的方向前进，才能最快与乙船相遇．

命题方向3　⇨角度与追击问题

　　例题3　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在距A处北偏东45°

方向、距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°

的方向，以9nmile/h的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．（注：

cos21°

47′＝0.9286）

[分析]　根据题意画出图形（如图），由题意知AC＝10，设渔轮向小岛B靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′处相遇，则∠ACB′＝120°

，利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′所用时间相同这一条件，解△AB′C即可．

[解析]　设舰艇与渔轮相遇所需时间为th，则AB′＝21t海里，

B′C＝9t海里．在△AB′C中，根据余弦定理，则有

AB′2＝AC2＋B′C2－2AC·

B′Ccos120°

可得212t2＝102＋81t2＋2×

9t×

整理，得360t2－90t－100＝0.

∴36t2－9t－10＝0，∴（12t＋5）（3t－2）＝0.

∴t＝或t＝－（舍去），

∴舰艇靠近渔轮所需的时间为h.即40分钟．

此时AB′＝14nmile，B′C＝6nmile.

由余弦定理cos∠CAB′＝≈0.9286.

∴∠CAB′＝21°

47′，45°

＋21°

47′＝66°

47′.

∴舰艇航行的方向角为北偏东66°

47′.所需时间40分钟．

『规律总结』　解决追及问题的步骤

（1）把实际问题转化为数学问题．

（2）画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了．（3）最后把数学问题还原到实际问题中去．

〔跟踪练习3〕

我舰在敌岛A南偏西50°

，相距12海里处的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°

的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为多少海里/小时？

[解析]　假设2小时后在C点相遇，

则AC＝20海里，

设我舰速度为v海里/小时，则BC＝2v海里

∠CAB＝180°

－10°

据余弦定理：

BC2＝AC2＋AB2－2AC·

AB·

cos120°

∴4v2＝202＋122－2×

12×

（－）

∴v＝14海里/小时．

∴我舰需要的速度为14海里/小时．

命题方向4　⇨正、余弦定理在力学中的应用

　　例题4　如图，在墙上有一个三角形支架OAB，吊着一个重力为12N的灯，OA、OB都是轻杆，只受沿杆方向的力，试求杆OA、OB所受力的大小．

[解析]　O点受三个力的作用，灯线的拉力F，方向向下，灯杆OA的拉力F1，方向与同向，灯杆OB的支持力F2方向与同向，三力平衡，∴F＋F1＋F2＝0.

设＝F，将力F沿，两个方向进行分解，作▱OCED，则＝－F1，＝－F2由题设条件知||＝12，∠COE＝60°

，∠OCE＝45°

，∴∠OEC＝75°

在△OCE中，由正弦定理得，＝＝，

∴CE＝＝6，OC＝＝6（＋1），

∴|F1|＝||＝CE＝6（N），

|F2|＝||＝OC＝6（＋1）（N）．

∴杆OA、OB所受力的大小分别为6N,6（＋1）N.

〔跟踪练习4〕

作用在小车A上的两个水平力F1、F2，|F1|＝40N，|F2|＝20N，夹角为60°

，小车的摩擦力大小为20N，则小车在力的作用下能否保持静止？

[解析]　如图所示．在▱ABCD中，由题意AB＝20，AD＝BC＝40，∠ABC＝120°

在△ABC中，由余弦定理，得

AC＝＝20，

∴|F合|＝AC＝20（N）．

∴小车能保持静止．

Y　

　　例题5　在海岸A处，发现北偏东45°

方向，距A处（－1）nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°

的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以10nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°

方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

[误解]　设缉私船用t小时，在D处