高中数学 111 角的概念的推广学案 新人教B版必修4文档格式.docx

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【答案】　－30°

教材整理2　终边相同的角

阅读教材P4“例1”以下～P5“第4行”以上内容，完成下列问题.

1.前提：

α表示任意角.

2.表示：

所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·

，k∈Z}.

判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（　　）

（2）终边相同的角有无数个，它们相差360°

的整数倍.（　　）

（3）终边相同的角的表示不唯一.（　　）

【解析】　由终边相同角的定义可知

（1）

（2）（3）正确.

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）√

教材整理3　象限角

阅读教材P5“第5行”～“例2”以上内容，完成下列问题.

1.象限角：

平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合.这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.

2.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.

下列说法：

①第一象限角一定不是负角；

②第二象限角大于第一象限角；

③第二象限角是钝角；

④小于180°

的角是钝角、直角或锐角.

其中错误的序号为________.（把错误的序号都写上）

【解析】　由象限角定义可知①②③④都不正确.

【答案】　①②③④

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

_________________________________________________________

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

任意角的概念

（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°

的角}，则下面关系正确的是（　　）　　　　　　　　　

A.A＝B＝CB.A⊆C

C.A∩C＝BD.B∪C⊆C

（2）下面与－850°

12′终边相同的角是（　　）

A.230°

12′B.229°

48′

C.129°

48′D.130°

12′

【精彩点拨】　正确理解第一象限角、锐角、小于90°

的角的概念.

【自主解答】　

（1）第一象限角可表示为k·

<

α<

k·

＋90°

，k∈Z；

锐角可表示为0°

β<

90°

；

小于90°

的角可表示为γ<

由三者之间的关系可知，选D.

（2）与－850°

12′终边相同的角可表示为α＝－850°

12′＋k·

（k∈Z），当k＝3时，α＝－850°

12′＋1080°

＝229°

48′.

【答案】　

（1）D　

（2）B

1.判断角的概念问题的关键与技巧：

（1）关键：

正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.

（2）技巧：

判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.

2.在0°

到360°

范围内找与给定角终边相同的角的方法：

（1）一般地，可以将所给的角α化成k·

＋β的形式（其中0°

≤β<

，k∈Z），其中的β就是所求的角.

（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：

当所给角是负角时，采用连续加360°

的方式；

当所给角是正角时，采用连续减360°

的方式，直到所得结果达到要求为止.常见360°

的倍数如下：

1×

＝360°

，

2×

＝720°

3×

＝1080°

4×

＝1440°

5×

＝1800°

[再练一题]

1.有下列说法：

①相差360°

整数倍的两个角，其终边不一定相同；

②终边相同的角一定相等；

③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·

，（k∈Z）.

其中正确说法的序号是________.

【导学号：

72010000】

【解析】　①不正确.终边相同的两个角一定相差360°

的整数倍，反之也成立；

②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·

，（k∈Z）；

③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈（－180°

，180°

），且β∈（－180°

）时α＋β＝0°

，当α，β为任意角时，α＋β＝k·

（k∈Z）.

【答案】　③

象限角与区域角的表示

（1）如图111，终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（　　）

图111

A.{α|k·

＋30°

＋45°

，k∈Z}

B.{α|k·

180°

＋150°

＋225°

C.{α|k·

D.{α|k·

（2）已知角β的终边在如图112所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.

图112

【精彩点拨】　找出0°

～360°

内阴影部分的角的集合

适合题意的角的集合

【自主解答】　

（1）在0°

内落在阴影部分角的范围为大于150°

而小于225°

，所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{α|k·

【答案】　C

（2）阴影在x轴上方部分的角的集合为：

A＝{β|k·

＋60°

＋105°

，k<

Z}.

阴影在x轴下方部分的角的集合为：

B＝{β|k·

＋240°

＋285°

所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·

，k∈Z}∪{β|k·

360＋285°

，k∈Z），其中B可以化为：

{β|k·

＋180°

即{β|（2m＋1）×

（2m＋1）×

，m∈Z}.

集合A可以化为

{β|2m×

2m×

故A∪B可化为{β|n·

n·

，n∈Z}.

表示区间角的三个步骤：

第一步：

先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

第二步：

按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°

范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<

x<

β}，其中β－α<

第三步：

起始、终止边界对应角α，β再加上360°

的整数倍，即得区间角集合.

2.写出图113中阴影部分（不含边界）表示的角的集合.

图113

【解】　在－180°

～180°

内落在阴影部分角集合为大于－45°

小于45°

，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为{α|－45°

＋k·

45°

[探究共研型]

所在象限的判定方法及角的终边对称问题

探究1　由α所在象限如何求（k∈N*）所在象限？

【提示】　

（1）画图法：

将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域.例如：

当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域.

但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法.

（2）代数推导法：

运用代数式一步一步推理.如：

当角α在第二象限时，90＋k·

，k∈Z，则30°

120°

60°

，k∈Z，所以在第一、二、四象限.

探究2　若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？

【提示】　

（1）关于y轴对称：

若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°

－α＋k·

，k∈Z.

（2）关于x轴对称：

若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·

（3）关于原点对称：

若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°

＋α＋k·

（4）关于直线y＝x对称：

若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°

（1）（2016·

北京高一检测）若α是第四象限角，则180°

－α是（　　）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

（2）已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？

【精彩点拨】　

（1）可通过写出α的取值范围，逐步求得180°

－α范围来求解；

（2）可由α范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置.

【自主解答】　

（1）因为α是第四象限角，则角α应满足：

－90°

，k∈Z，

所以－k·

－α<

－k·

则－k·

当k＝0时，180°

270°

故180°

－α为第三象限角.

（2）∵α是第二象限角，

∴90°

∴180°

＋2k·

2α<

∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.

同理45°

＋·

当k为偶数时，

不妨令k＝2n，n∈Z，

则45°

＋n·

此时，为第一象限角；

当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，

则225°

此时，为第三象限角.

∴为第一或第三象限角.

解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行