1718版 第2章 第5课 函数的单调性与最值Word格式文档下载.docx

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x2时，都有f（x1）>

f（x2），那么就说函数f（x）在区间I上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

（2）单调区间的定义

如果函数y＝f（x）在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f（x）的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

②存在x0∈I，使得f（x0）＝M

①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

结论

M是y＝f（x）的最大值

M是y＝f（x）的最小值

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）对于函数f（x），x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>

0，则函数f（x）在区间D上是增函数．（　　）

（2）函数y＝的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（　　）

（3）函数y＝|x|是R上的增函数．（　　）

（4）所有的单调函数都有最值．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×

　（3）×

　（4）×

2．（2016·

北京高考改编）下列函数中，在区间（－1,1）上为减函数的是________．（填序号）

①y＝；

②y＝cosx；

③y＝ln（x＋1）；

④y＝2－x.

④　[①中，y＝在（－∞，1）和（1，＋∞）上为增函数，故y＝在（－1,1）上为增函数；

②中，y＝cosx在（－1,1）上先增后减；

③中，y＝ln（x＋1）在（－1，＋∞）上为增函数，故y＝ln（x＋1）在（－1,1）上为增函数；

④中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在（－1,1）上是减函数．]

3．（教材改编）已知函数f（x）＝，x∈[2,6]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．

2　　[可判断函数f（x）＝在[2,6]上为减函数，所以f（x）max＝f

（2）＝2，f（x）min＝f（6）＝.]

4．设函数f（x）＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g（a），则g（a）＝________.

　[∵f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，∴当a≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a]上递增，g（a）＝－1.当－2<

a<

1时，函数在[－2，a]上递减，∴g（a）＝a2－2a，

综上可知，g（a）＝]

5．（教材改编）已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________．

（－∞，1]∪[2，＋∞）　[∵f（x）＝x2－2ax－3＝（x－a）2－a2－3，

∴f（x）关于x＝a对称．

要使y＝f（x）在区间[1,2]上具有单调性，

只需a≥2或a≤1.]

函数单调性的判断

（1）函数f（x）＝log2（x2－1）的单调递减区间为________．

（2）试讨论函数f（x）＝x＋（k＞0）的单调性．

（1）（－∞，－1）　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈（0，＋∞）上为增函数，

t＝x2－1在x∈（－∞，－1）上是减函数，所以函数f（x）＝log2（x2－1）的单调递减区间为（－∞，－1）．]

（2）法一：

由解析式可知，函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞）．在（0，＋∞）内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f（x2）－f（x1）＝－＝（x2－x1）＋k＝（x2－x1）.

因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.

故当x1，x2∈（，＋∞）时，f（x1）＜f（x2），

即函数在（，＋∞）上单调递增．

当x1，x2∈（0，）时，f（x1）＞f（x2），

即函数在（0，）上单调递减．

考虑到函数f（x）＝x＋（k＞0）是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在（－∞，－）上单调递增，在（－，0）上单调递减．

综上，函数f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减．

法二：

f′（x）＝1－.

令f′（x）＞0得x2＞k，即x∈（－∞，－）或x∈（，＋∞），故函数的单调增区间为（－∞，－）和（，＋∞）．

令f′（x）＜0得x2＜k，即x∈（－，0）或x∈（0，），故函数的单调减区间为（－，0）和（0，）．

故函数f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减．

[规律方法]　1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．

2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．

易错警示：

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题

（1）．

[变式训练1]　讨论函数f（x）＝（a>

0）在x∈（－1,1）上的单调性.

【导学号：

62172024】

[解]　设－1<

x1<

x2<

1，

则f（x1）－f（x2）＝－

＝

＝.

∵－1<

1，a>

0，

∴x2－x1>

0，x1x2＋1>

0，（x－1）（x－1）>

0.

∴f（x1）－f（x2）>

0，即f（x1）>

f（x2），

故函数f（x）在（－1,1）上为减函数.

利用函数的单调性求最值

　已知f（x）＝，x∈[1，＋∞），且a≤1.

（1）当a＝时，求函数f（x）的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

[思路点拨]　

（1）先判断函数f（x）在[1，＋∞）上的单调性，再求最小值；

（2）根据f（x）min＞0求a的范围，而求f（x）min应对a分类讨论．

[解]　

（1）当a＝时，f（x）＝x＋＋2，f′（x）＝1－＞0，x∈[1，＋∞），

即f（x）在[1，＋∞）上是增函数，∴f（x）min＝f

（1）＝1＋＋2＝.

（2）f（x）＝x＋＋2，x∈[1，＋∞）．

法一：

①当a≤0时，f（x）在[1，＋∞）内为增函数．

f（x）min＝f

（1）＝a＋3.

要使f（x）＞0在x∈[1，＋∞）上恒成立，只需a＋3＞0，

∴－3＜a≤0.

②当0＜a≤1时，f（x）在[1，＋∞）内为增函数，

f（x）min＝f

（1）＝a＋3，

∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.

综上所述，f（x）在[1，＋∞）上恒大于零时，a的取值范围是（－3,1]．

f（x）＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，

∴a＞－（x2＋2x），而－（x2＋2x）在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为（－3,1]．

[规律方法]　利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f（x）在闭区间[a，b]上是增函数，则f（x）在[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）．

请思考，若函数f（x）在闭区间[a，b]上是减函数呢？

[变式训练2]　（2016·

北京高考）函数f（x）＝（x≥2）的最大值为________．

2　[法一：

∵f′（x）＝，∴x≥2时，f′（x）＜0恒成立，

∴f（x）在[2，＋∞）上单调递减，

∴f（x）在[2，＋∞）上的最大值为f

（2）＝2.

∵f（x）＝＝＝1＋，

∴f（x）的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞）上单调递减，∴f（x）在[2，＋∞）上单调递减，故f（x）在[2，＋∞）上的最大值为f

（2）＝2.

法三：

由题意可得f（x）＝1＋.

∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，

∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.

故f（x）在[2，＋∞）上的最大值为2.]

函数单调性的应用

角度1　比较大小

　设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________.

62172025】

b<

c　[因为函数y＝0.6x是减函数，0<

0.6<

1.5，所以1>

0.60.6>

0.61.5，即b<

1.因为函数y＝x0.6在（0，＋∞）上是增函数，1<

1.5，所以1.50.6>

10.6＝1，即c>

1.综上，b<

c.]

角度2　解不等式

　已知函数f（x）是定义在区间[0，＋∞）上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f（2x－1）＜f的x的解集是________．

　[由题意知即

所以≤x＜.]

角度3　求参数的取值范围

（1）如果函数f（x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．

（2）已知函数f（x）＝若f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为________．

（1）　

（2）（2,3]　[

（1）当a＝0时，f（x）＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在（－∞，4）上单调递增；

当a≠0时，二次函数f（x）的对称轴为x＝－，

因为f（x）在（－∞，4）上单调递增，

所以a＜0，且－≥4，解得－≤a＜0.

综上所述，实数a的取值范围是.

（2）要使函数f（x）在R上单调递增，

则有即

解得2＜a≤3，

即实数a的取值范围是（2,3]．]

[规律方法]　1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

（1）若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；

（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．

[思想与方法]

1．判断函数单调性的四种方法

（1）定义法：

取值、作差、变形、定号、下结论．

（2）复合法：

同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．

（3）图象法：

如果f（x）是以图象形式给出的，或者f（x）的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．

（4）导数法：

利用导函数的正负判断函数单调性．

2．求函数最值的常用方法

（1）单调性法：

先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

（2）图象法：

先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

（3）换元法：

对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

[易错与防范]

1．易混淆两个概念：

“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．

3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．

课时分层训练（五）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．函数y＝（2k＋1）x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________.

【导学号：

62172026】

　[由题意知