高考数学总复习配套教案910直线与圆锥曲线的综合应用1Word格式.docx
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b>
0）有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________．
由题意易知两交点的横坐标为－c、c，纵坐标分别为－
、
，所以由
得2b2＝
ac＝2（a2－
c2），即2e2＋
e－2＝0，解得e＝
或e＝－
（负根舍去）．
5.已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A、B两点，且AB的中点为N（－12，－15），则E的方程为____________．
＝1
设双曲线的标准方程为
＝1（a＞0，b＞0），由题意知c＝3，a2＋b2＝9.设A（x1，y1），B（x2，y2），则有
两式作差得
，又AB的斜率是
＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是
＝1.
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y（或x）得关于变量x（或y）的方程：
ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）．
若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：
Δ>
0直线与圆锥曲线相交；
Δ＝0直线与圆锥曲线相切；
Δ<
0直线与圆锥曲线相离．
若a＝0且b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．
2.圆锥曲线的弦长问题
设直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长AB＝
|x1－x2|或
|y1－y2|.
[备课札记]
题型1 如何研究直线与圆锥曲线中的分线段成比例的问题
例1 已知曲线E：
ax2＋by2＝1（a>
0，b>
0），经过点M
的直线l与曲线E交于点A、B，且
＝－2
.
（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；
（2）若a＝b＝1，求直线AB的方程．
解：
（1）设A（x0，y0），由已知B（0，2），M（
，0），所以
，
＝（x0－
，y0）．
由于
，所以（－
，2）＝－2（x0－
，y0），所以
即A（
，－1），将A、B点的坐标代入曲线E的方程，得
解得
所以曲线E的方程为x2＋
（2）当a＝b＝1时，曲线E为圆x2＋y2＝1，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．又
所以
＝－2（x1－
，y1），
即有
x
＋y
＝1①，x
＝1②，由①×
4－②，得（2x1＋x2）（2x1－x2）＝3，所以2x1－x2＝
，解得x1＝
，x2＝0.由x1＝
，得y1＝±
.当A
时，B（0，－1），此时kAB＝－
，直线AB的方程为y＝－
x＋1；
当A
时，B（0，1），此时kAB＝
，直线AB的方程为y＝
x－1.
已知椭圆C：
0）的离心率为
，与过右焦点F且斜率为k（k>
0）的直线相交于A、B两点．若
＝3
，则k＝________．
定点F分线段AB成比例，从而分别可以得出A、B两点横坐标之间关系式、纵坐标之间关系式，再把A、B点的坐标代入椭圆方程
＝1，四个方程联立方程组，解出根，得出A、B两点的坐标，进而求出直线AB的方程．
由已知e＝
，所以a＝2b，
所以a＝
c，b＝
椭圆方程
＝1变为
x2＋3y2＝c2.
设A（x1，y1），B（x2，y2），又
所以（c－x1，－y1）＝3（x2－c，y2），
＋3y
＝c2，①
＝c2，②
①－9×
②，得
（x1＋3x2）（x1－3x2）＋3（y1＋3y2）（y1－3y2）＝－8c2，所以
×
4c（x1－3x2）＝－8c2，
所以x1－3x2＝－
c，所以x1＝
c，x2＝
c.
从而y1＝－
c，y2＝
c，
所以A
，B
，故k＝
题型2 有关垂直的问题
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>
0，求证：
PA⊥PB.
（1）解：
由题设知，a＝2，b＝
，故M（－2，0），N（0，－
），所以线段MN中点的坐标为
.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝
（2）解：
将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程
＝1，解得x＝±
，因此P
，A
.于是C
，直线AC的斜率为
＝1，故直线AB的方程为x－y－
＝0.因此，d＝
（3）证明：
设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1>
0，x2>
0，x1≠x2，A（－x1，－y1），C（x1，0），设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k1、k2.因为C在直线AB上，所以k2＝
.从而k1k＋1＝2k1k2＋1＝2·
·
＋1＝
＝0.
因此k1k＝－1，所以PA⊥PB.
如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：
x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M.是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；
若不存在，说明理由．
（1）设椭圆C的方程为
＝1（a＞b＞0），由已知，得
∴
∴b＝
所以椭圆C的方程为
（2）由
＝e＝
，得PF＝
PM.∴PF≠PM.
①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．
②若FM＝PM，设P（x，y）（x≠±
2），则M（4，y）．∴
＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2.又由
＝1，得y2＝3－
x2.∴9＋3－
x2＝16－8x＋x2，
x2－8x＋4＝0.∴7x2－32x＋16＝0.∴x＝
或x＝4.
∵x∈（－2，2），∴x＝
.∴P
.综上，存在点P
，使得△PFM为等腰三角形．
题型3 直线与圆锥曲线
例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m>
0，y1>
0，y2<
0.
（1）设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
（2）设x1＝2，x2＝
，求点T的坐标；
（3）设t＝9，求证：
直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
设点P（x，y），则F（2，0）、B（3，0）、A（－3，0）．由PF2－PB2＝4，得（x－2）2＋y2－[（x－3）2＋y2]＝4，化简得x＝
，故所求点P的轨迹为直线x＝
将x1＝2，x2＝
分别代入椭圆方程，以及y1>
0得M
、N
.直线MTA的方程为
，即y＝
x＋1.直线NTB的方程为
x－
.联立方程组，解得
所以点T的坐标为
点T的坐标为（9，m），直线MTA的方程为
（x＋3）．直线NTB的方程为
（x－3）．
分别与椭圆
＝1联立方程组，同时考虑到x1≠－3，x2≠3，解得M
、N（
，－
）．
（证法1）当x1≠x2时，直线MN的方程为
，令y＝0，解得x＝1，此时必过点D（1，0）；
当x1＝x2时，直线MN的方程为x＝1，与x轴交点为D（1，0），所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．
（证法2）若x1＝x2，则由
及m>
0，得m＝2
，此时直线MN的方程为x＝1，
过点D（1，0）．若x1≠x2，则m≠2
直线MD的斜率kMD＝
直线ND的斜率kND＝
得kMD＝kND，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点D（1，0）．
0）的一个顶点为A（2，0），离心率为
.直线y＝k（x－1）与椭圆C交于不同的两点M，N.
（2）当△AMN的面积为
时，求k的值．
（1）由题意得
解得b＝
，所以椭圆C的方程为
得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则y1＝k（x1－1），y2＝k（x2－1），
x1＋x2＝
，x1x2＝
所以MN＝
又因为点A（2，0）到直线y＝k（x－1）的距离d＝
，所以△AMN的面积为S＝
MN·
d＝
.由
，解得k＝±
1.
【示例】（本题模拟高考评分标准，满分16分）
已知双曲线
＝1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于
，过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点，F1为左焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若△F1AB的面积等于6
，求直线l的方程．
学生错解：
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（2，0），直线l：
y＝k（x－2），
由
消元得（k2－3）x2－4k2x＋4k2＋3＝0，x1＋x2＝
，y1－y2＝k（x1－x2），
△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·
|x1－x2|＝2|k|
＝2|k|·
＝6
k4＋8k2－9＝0k2＝1k＝±
1，所以直线l的方程为y＝±
（x－2）．
审题引导：
（1）直线与双曲线相交问题时的处理方法；
（2）△F1AB面积的表示．
规范解答：
解：
（1）依题意，b＝
＝2a＝1，c＝2，（4分）
∴双曲线的方程为x2－
＝1.（6分）
（2）设
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